Дельтоида́льный икоситетра́эдр (от «дельтоид » и др.-греч. εἴκοσι τέτταρες ἕδρα тетрагонтриокта́эдром (от др.-греч. τέτταρες γωνία τρία οκτώ ἕδρα полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбокубооктаэдру .
Составлен из 24 одинаковых выпуклых дельтоидов .
Имеет 26 вершин. В 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба ) сходятся по 3 грани своими тупыми углами; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра ) сходятся по 4 грани острыми углами, противоположными тупому; в остальных 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра ) сходятся по 4 грани острыми углами, соседними с тупым.
8 вершин расположены так же, как вершины
куба
6 вершин расположены так же, как вершины
октаэдра
12 вершин расположены так же, как вершины
кубооктаэдра
Имеет 48 рёбер — 24 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова октаэдра) и 24 «коротких» (образующих «раздутый» остов куба).
Дельтоидальный икоситетраэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла [ 1] гамильтонова пути для всех шести также нет.
Грань дельтоидального икоситетраэдра Если «короткие» рёбра дельтоидального икоситетраэдра имеют длину
b
{\displaystyle b}
a
=
1
2
(
4
−
2
)
b
≈
1,292
8932
b
.
{\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(4-{\sqrt {2}}\right)b\approx 1{,}2928932b.}
Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как
S
=
6
29
−
2
2
b
2
≈
30,694
8957
b
2
,
{\displaystyle S=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\;b^{2}\approx 30{,}6948957b^{2},}
V
=
122
+
71
2
b
3
≈
14,913
3887
b
3
.
{\displaystyle V={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\;b^{3}\approx 14{,}9133887b^{3}.}
Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их центрах вписанных окружностей ) при этом будет равен
r
=
1
2
1
17
(
78
+
47
2
)
b
≈
1,457
5767
b
,
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{17}}\left(78+47{\sqrt {2}}\right)}}\;b\approx 1{,}4575767b,}
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
ρ
=
1
4
(
2
+
3
2
)
b
≈
1,560
6602
b
,
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(2+3{\sqrt {2}}\right)b\approx 1{,}5606602b,}
радиус окружности, вписанной в грань —
r
Γ
P
=
ρ
2
−
r
2
=
1
2
1
34
(
31
+
8
2
)
b
≈
0,557
7905
b
,
{\displaystyle r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{34}}\left(31+8{\sqrt {2}}\right)}}\;b\approx 0{,}5577905b,}
бо́льшая диагональ грани (делящая грань на два равнобедренных треугольника ) —
e
=
1
2
10
+
2
b
≈
1,689
2464
b
,
{\displaystyle e={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+{\sqrt {2}}}}\;b\approx 1{,}6892464b,}
меньшая диагональ грани (делящая грань на два равных треугольника) —
f
=
1
2
12
−
2
2
b
≈
1,514
2302
b
.
{\displaystyle f={\frac {1}{2}}{\sqrt {12-2{\sqrt {2}}}}\;b\approx 1{,}5142302b.}
Описать около дельтоидального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.
Тупой угол грани (между двумя «короткими» сторонами) равен
arccos
(
−
2
+
2
8
)
≈
115
,
26
∘
;
{\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2+{\sqrt {2}}}{8}}\right)\approx 115{,}26^{\circ };}
arccos
2
−
2
4
≈
81
,
58
∘
.
{\displaystyle \arccos \,{\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}\approx 81{,}58^{\circ }.}
Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
arccos
(
−
7
+
4
2
17
)
≈
138
,
12
∘
.
{\displaystyle \arccos \left(-{\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}\right)\approx 138{,}12^{\circ }.}
В форме дельтоидального икоситетраэдра встречаются кристаллы анальцима , лейцита , а так же некоторых разновидностей граната : спессартина , андрадита .
Дельтоидальный икоситетраэдр играет важную роль в рассказе Говарда Лавкрафта «Обитающий во Тьме », где фигурирует под принятым в кристаллографии названием «trapezohedron». В стереометрии словом «трапецоэдр » обозначается другой многогранник.
