Трапецеромбический додекаэдр

Трапецеромбический додекаэдр
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	12 граней 24 ребра 14 вершин Χ = 2
Грани	6 ромбов 6 трапеций
Конфигурация вершины	2(4.4.4) 6(4.4.4.4) 6(4.4.4)
Двойственный многогранник	трёхскатный прямой бикупол
Развёртка
Классификация
Группа симметрии	D3h
Медиафайлы на Викискладе

Трапецеромби́ческий додека́эдр^[1][2] — многогранник, двойственный трёхскатному прямому бикуполу.

Составлен из 12 граней: 6 равнобоких трапеций и 6 ромбов. Каждая грань окружена двумя трапециедальными и двумя ромбическими; у каждой грани два угла равны ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1}{3}}\approx 70{,}53^{\circ },}$ а два других ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\circ }.}$

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся своими тупыми углами три ромбических грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильной треугольной призмы) сходятся острыми углами две трапециедальных и две ромбических грани; в остальных 6 (расположенных как вершины другой правильной треугольной призмы) сходятся тупыми углами две трапециедальных и одна ромбическая грани.

У трапецеромбического додекаэдра 24 ребра — 3 «длинных» (служащих большими основаниями трапеций), 18 «средних» (служащих боковыми сторонами трапеций и сторонами ромбов) и 3 «коротких» (служащих малыми основаниями трапеций). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle 120^{\circ }.}$

Трапецеромбический додекаэдр можно получить из ромбододекаэдра, разрезав тот на две части любой плоскостью, пересекающей под прямыми углами шесть его рёбер, и повернув одну из частей на 60° вокруг её оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; вписанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают со вписанной и полувписанной сферами исходного ромбододекаэдра.

Если «средние» рёбра трапецеромбического додекаэдра имеют длину ${\displaystyle a}$, то его «длинные» рёбра имеют длину ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\,a,}$ «короткие» — длину ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\,a.}$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

${\displaystyle S=8{\sqrt {2}}\;a^{2}\approx 11{,}3137085a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}\;a^{3}\approx 3{,}0792014a^{3}.}$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

${\displaystyle \rho ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\;a\approx 0{,}9428090a.}$

Описать около трапецеромбического додекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Периметр любой грани будет равен

${\displaystyle P_{\Gamma \mathrm {P} }=4a=4{,}0000000a,}$

радиус окружности, вписанной в любую грань —

${\displaystyle r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a\approx 0{,}4714045a,}$

площадь любой грани —

${\displaystyle S_{\Gamma \mathrm {P} }={\frac {P_{\Gamma \mathrm {P} }}{2}}\,r_{\Gamma \mathrm {P} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{2}\approx 0{,}9428090a^{2}.}$

С помощью трапецеромбических додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

• 
  Фрагмент заполнения
• 
  Рёберная модель

Данное заполнение является диаграммой Вороного для центров одинаковых сфер в шестиугольной плотной упаковке (ГП).

• Weisstein, Eric W. Трапецеромбический додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.