Формула Шлефли

Формула Шлефли — соотношение на производные двугранных углов и длины рёбер семейства многогранников. Предложена Людвигом Шлефли^[1].

Пусть ${\displaystyle P(t)}$ есть гладкое однопараметрическое семейство многогранников в евклидовом пространстве. Обозначим через ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}(t)}$ и ${\displaystyle \ell _{i}=\ell _{i}(t)}$ двугранные углы и длины рёбер ${\displaystyle P(t)}$. Тогда

${\displaystyle \sum _{i}\ell _{i}{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=0}$

Формула имеет естественные обобщения на случай многомерных евклидовых пространств^[2] и пространств постоянной кривизны.

• Символ Шлефли

1. ↑ L. Schläfli, Quart. J. Pure Appl. Math. 2 (1858); ibid 3 (1860)
2. ↑ R. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 288, no. 2, 661—678.