Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники в евклидовой геометрии — треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны. Являются подобными фигурами.

В данной статье рассматриваются свойства подобных треугольников в евклидовой геометрии. Некоторые утверждения являются неверными для неевклидовых геометрий.

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов определения.

то есть: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\Leftrightarrow \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

• Если три стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трём сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».
• Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2},}$ в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}},}$

(первый признак).

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}\Rightarrow AC=AC_{2}\Rightarrow \triangle ABC=\triangle ABC_{2},}$

(первый признак).

${\displaystyle \Rightarrow \angle B=\angle ABC_{2}\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1},}$

(первый признак).

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}}$.

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$, в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ (первый признак) ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}}.}$

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}\Rightarrow \ }$ AC=AC₂, BC=BC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (третий признак);
∆ABC₂ ${\displaystyle \sim }$ ∆A₁B₁C₁ => ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$.

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум пропорциональным катетам — см. второй признак;
3. По пропорциональному катету и гипотенузе — см. третий признак.

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Подобны следующие виды треугольников:

• Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
• Треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
• Треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
• Исходный треугольник ${\displaystyle \Delta ABC}$ по отношению к ортотреугольнику является треугольником трёх внешних биссектрис^[1].
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
• Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному^[2]. Здесь использованы определения:
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

• Соответственные стороны дополнительного треугольника, антидополнительного треугольника и исходного треугольника попарно параллельны.
• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

• Неравенство Пидо
• Подобие
• Признаки равенства треугольников
• Решение треугольников
• Среднее геометрическое
• Треугольник

• Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

• Видео. Подобные треугольники
• Подобие треугольников
• Признаки подобия из учебника за восьмой класс