У математиці моментами функції називають певні кількісні характеристики, пов’язані з формою графіка функції.
Якщо функція описує густину маси, то нульовий момент — це загальна маса, перший момент (нормований на загальну масу) — центр мас, а другий момент — момент інерції.
Якщо функція є ймовірнісним розподілом, то перший момент — це математичне сподівання, другий центральний момент — дисперсія, третій стандартизований момент — асиметрія, а четвертий стандартизований момент — крутість (чи ексцес).
Для розподілу маси або ймовірності на обмеженому інтервалі сукупність усіх моментів (усіх порядків — від 0 до ∞) однозначно визначає розподіл (задача моментів Гаусдорфа). На необмежених інтервалах це вже не завжди так (задача моментів Гамбургера).
Теорія ймовірностей
Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини
, яка приймає значення
з ймовірністю
, де
, називається число
, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто
.[1]
Величина
називається абсолютним моментом випадкової величини
.
Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини
з густиною
, називається число
, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто
.[1]
Якщо дана випадкова величина
визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини
називається величина
![{\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a6dc37744b5b263342772e8d71c4cea38c1c49)
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Початковим моментом k-го порядку називається величина:
![{\displaystyle \nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5487a230e162c8ef1478e073537780dfbbf37c9)
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
-им факторіальним моментом випадкової величини
називається величина
![{\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07c7c3072fa7d9b096722086e002fa849a96b6a)
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Зауваження
Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:





- Якщо визначені моменти
-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків
.
Геометрична інтерпретація деяких моментів
дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини
і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз

- називається коефіцієнтом асиметрії.
контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина

- називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в.

Обчислення моментів

якщо
,
а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей
:

якщо
- Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію
:

- Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів,
, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

Можна також розглядати моменти в.в. для значень
, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу
, називається перетворення Мелліна.
Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.
Див. також
Джерела
Примітки