Неповна гамма-функція

У математиці верхня неповна гамма-функція і нижня неповна гамма-функція є типом спеціальних функцій, які виникають при розв'язанні різноманітних математичних задач, таких як деякі інтеграли.

Їх відповідні назви випливають з їх інтегральних визначень, які визначаються аналогічно гамма-функції, іншим типом спеціальної функції, але з різними або "неповними" інтегральними межами. Гамма-функція визначається як інтеграл від нуля до нескінченності. Це відрізняється від нижньої неповної гамма-функції, яка визначається як інтеграл від нуля до змінної верхньої межі. Відповідно, верхня неповна гамма-функція визначається як інтеграл від змінної нижньої межі до нескінченності.

Верхня неповна гамма-функція визначається як:

${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t,\,\!}$

в той час як нижня неповна гамма-функція визначається як:

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!}$

В обох випадках s є складним параметром, таким, що дійсна частина s є позитивною.

Інтегруванням частинами знаходимо рекурентне співвідношення

${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$

та

${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}}$

Оскільки звичайна гамма-функція визначається як

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t}$

маємо

${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$

та

${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}$

Нижня неповна гамма-функція та верхня неповна гамма-функція, що визначені вище для дійсних позитивних s і x, можуть бути розвинені в голоморфній функції s, по відношенню як до x, так і до s, визначені для майже всіх комбінацій складних x та s.^[1] Комплексний аналіз показує, що властивості дійсних неповних гамма-функцій поширюються на їх голоморфні аналоги.

Повторне застосування рекурентного відношення до нижньої неповної гамма-функції призводить до розширення степеневого ряду: [2]

${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)...(s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$

Враховуючи стрімке зростання абсолютної величини Γ(z + k) при k → ∞, а також той факт, що взаємна Γ( z ) є цілою функцією, коефіцієнти у правій частині суми є чітко визначеними, а локально сума сходиться рівномірно для всіх комплексних s та x. За теоремою Вейерштрасса, гранична функція іноді позначається як ${\displaystyle \gamma ^{*}}$,

${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$ [3]

є цілою щодо z (для фіксованих s) та s (для фіксованих z) [4] , і, таким чином, голоморфна на ℂ×ℂ за теоремою Хартогса[5]. Отже, наступне розвинення

${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z)}$ [6],

розширює дійсну неповну гамма-функцію в голоморфну функцію, як спільно, так і окремо в z і s. З властивостей z^s та гамма-функції випливає, що перші два чинники фіксують особливі точки γ (при z = 0 або s - не додатнє ціле число), тоді як останній чинник сприяє його нулям.

Комплексний логарифм log z = log |z| + i arg z визначається лише кратним 2πi, що робить його багатозначним. Функції, що включають складний логарифм, як правило, успадковують цю властивість. Серед них - складна потужність, і оскільки z ^s з'являється в його розкладі, то γ-функція теж.

Невизначеність багатозначних функцій призводить до ускладнень, оскільки необхідно вказати, як вибрати значення. Стратегії для вирішення цього є:

• (найбільш загальний спосіб) замінити домен ℂ багатозначних функцій відповідним різновидом у ℂ × ℂ, що називається поверхнею Рімана. У той час як це усуває багатозначність, потрібно знати теорію, яка лежить в основі [7];
• обмежуйте такий домен, при якому багатозначна функція розкладається на окремі однозначні гілки, які можна обробляти індивідуально.

Поряд з z=0 γ поводиться асимптотично:

${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s}$

Для додатних дійсних x, y та s, x^y/y → 0, при (x, y) → (0, s). Цим обґрунтовується, що γ(s, 0) = 0 для дійсних s > 0. Проте, в комплексній області все трохи інакше. Тільки якщо (a) дійсна частина s є додатною, та (b) значення u^v беруться з лише кінцевого набору гілок, то вони гарантовано сходяться до нуля, оскільки (u, v) → (0, s), так само і для γ(u, v). γ(b) виконується на одиничній гілці, і тому γ(s, 0) = 0 для s з додатною дійсною частиною є неперевною межею. Таке продовження в жодному разі не є аналітичним.

Усі алгебраїчні співвідношення та диференціальні рівняння, які спостерігаються за допомогою дійсної γ(s, z) зберігаються і для її голоморфного аналога. Це є наслідком теореми про тотожність[8], яка вказує, що рівняння між голоморфними функціями, чинними на дійсному інтервалі, зберігаються скрізь. Зокрема, у відповідних гілках, зберігаються рекурентні співвідношення [9] та ∂γ(s,z)/∂z = z^s−1 e^−z [10] зберігаються на відповідних гілках.

Останнє співвідношення говорить нам, що для фіксованого значення s, γ є первісною голоморфної функції z^s−1 e^−z. Отже, [11], для будь-яких комплексних u, v ≠ 0,

${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$

має місце до тих пір, поки шлях інтегрування, цілком лежить в області підінтегральної гілки. Якщо додатково, дійсна частина s є додатною, то застосовується межа γ(s, u) → 0 при u → 0, остаточно приходячи до комплексного інтегрального визначення γ

${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t,\,\Re (s)>0.}$[12]

Будь-який шлях інтегрування, який містить 0 тільки в його початку, а в іншому випадку обмежується областю підінтегральної гілки, є справедливим, наприклад, пряма лінія, що з'єднує 0 і z.

Враховуючи інтегральне подання головної гілки γ, для будь-якого позитивного дійсного s, x виконується таке рівняння:[13]

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t=\lim _{x\rightarrow \infty }\gamma (s,x)}$

Цей результат поширюється на комлексну s. Припустимо спочатку 1 ≤ Re(s) ≤ 2 nf 1 < a < b. Потім

${\displaystyle |\gamma (s,b)-\gamma (s,a)|\leq \int _{a}^{b}|t^{s-1}|e^{-t}\,{\rm {d}}t=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,{\rm {d}}t}$

де

${\displaystyle |z^{s}|=|z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$[14]

був використаний посередині. Оскільки кінцевий інтеграл стає довільно малим, тільки якщо a досить великий, γ(s, x) рівномірно сходиться для x → ∞ на проміжку 1 ≤ Re(s) ≤ 2 відношенню до голоморфної функції, яка повинна дорівнювати Γ(s) за теоремою про тотожність [15]. Беручи межу в рекурентному співвідношенні γ(s,x) = (s − 1)γ(s − 1,x) − x^{s −1} e^−x, і відзначаючи, що lim xⁿ e^−x = 0 при x → ∞ і всіх n, бачимо, що γ(s,x) також сходиться за межею проміжку до функції, яка відповідає рекурентному відношенню Γ-функції. З цього слідує

${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\rightarrow \infty }\gamma (s,x)}$

для всіх комплексних s недодатніх цілих чисел, x дійсне та γ основна.

Нехай u з проміжку |arg z| < δ < π/2 з деякими фіксованими δ (α = 0), γ є основною галуззю в цьому секторі, бачимо, що

${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$

Як видно вище, перша різниця може бути довільно мала, якщо |u| є достатньо великим. Друга різниця дозволяє зробити наступну оцінку

${\displaystyle |\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)|\leq \int _{u}^{|u|}|z^{s-1}e^{-z}|\,{\rm {d}}z=\int _{u}^{|u|}|z|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,{\rm {d}}z}$

де ми використали інтегральне зображення γ та формулу про |z^s|. Якщо ми інтегруємо вздовж дуги з радіусом R = |u| навколо 0, що зв'язує u і |u|, тоді останній інтеграл дорівнює

${\displaystyle \leq R|\arg u|\,R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$

де M = δ(cos δ)^{−Re s} e^{Im sδ} є постійною незалежною u або R. Знову посилаючись на поведінку xⁿ e^−x для великого x, ми бачимо, що останній вираз наближається до 0, оскільки R збільшується до ∞. Отже,маємо:

${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\rightarrow \infty }\gamma (s,z),\quad |\arg z|<\pi /2-\epsilon }$

якщо s не є невід'ємним цілим числом, 0 < ε < π/2 є довільно малим, але фіксованим, а γ позначає основну гілку в цій області.

${\displaystyle \gamma (s,z)}$ is:

• Ціла функція в z для фіксованого додатного інтеграла s;
• Багатозначна голоморфна функція в z для фіксованого не цілого s, з точкою розгалуження в z = 0;
• На кожній гілці мероморфна функція в s для фіксованого z ≠ 0, з простими полюсами в недодатних цілих х.

Що стосується Верхньої неповної гамма-функції, голоморфне розширення, по відношенню до z або s, задається

${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$ [16]

в точках (s, z), де права частина існує. Оскільки ${\displaystyle \gamma }$ багатозначна, те саме для ${\displaystyle \Gamma }$, але обмеження до основних значень дає лише однозначну основну гілку ${\displaystyle \Gamma }$.

Коли s є не додатнім цілим числом у вищезгаданому рівнянні, то ні одна частина різниці не визначена, а обмеження процесу, розвинене для s → 0, заповнює відсутні значення. Комплексний аналіз гарантує голоморфність, оскільки ${\displaystyle \Gamma (s,z)}$ виявляється обмежена в сусіди цього обмеження для фіксованого z[17].

Щоб визначити межу, потужний ряд ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ при z = 0 виявляється корисним. Замінивши ${\displaystyle e^{-x}}$ своїм послідовним рядком у інтегральному визначенні ${\displaystyle \gamma }$, одержуємо (припускаємо x,s додатні дійсні числа в даний момент):

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\operatorname {d} t=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\operatorname {d} t=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$

або

${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}}.}$ [18]

який як серійне представлення всієї функції ${\displaystyle \gamma ^{*}}$, збігається для всього комплексу x (а весь комплекс s не є не додатнім цілим числом).

З його обмеженням до справжніх значень, серія дозволяє робити розширення:

${\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0}$

Де s → 0:

${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\rightarrow \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\rightarrow -\gamma }$,

(${\displaystyle \gamma }$ Стала Ейлера—Маскероні ), отже,

${\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\rightarrow 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}}$

є граничною функцією верхньої неповної гамма-функції як s → 0, також відомою як ${\displaystyle E_{1}(z)}$.^[2]

За допомогою рекурентного співвідношення, з цього результату можна вивести значення ${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$ для натуральних чисел n^[3]

${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+(-1)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$

тому верхня неповна гамма-функція виявляється існуючою і голоморфною, як для z , так і для s для всіх s і z ≠ 0.

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$ is:

• Ціла функція в z для фіксованого додатного інтеграла s;
• = ${\displaystyle \Gamma (s)}$ для s з додатної дійсною частиною z = 0 (границя, коли ${\displaystyle (s_{i},z_{i})\rightarrow (s,0)}$),

але це безперервне продовження, а не аналітичне (не тримається для дійсного s <0!);

• Багатозначна голоморфна функція в z для фіксованого s (s не нуль і не додатній інтеграл) з точкою розгалуження в z = 0;
• На кожній гілці ціла функція в s для фіксованого z ≠ 0.

• ${\displaystyle \Gamma (s)=(s-1)!}$ якщо s додатне ціле,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$ якщо s додатне ціле,^[4]
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$ for ${\displaystyle x>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$,
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$.

Тут, ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ це інтегральна показникова функція, ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$ це узагальнена інтегрально-показникова функція, ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ це функція помилок, і ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ це доповнююча функція помилок, ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$.

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow {\frac {1}{s}}}$ якщо ${\displaystyle x\rightarrow 0}$,
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow -{\frac {1}{s}}}$ якщо ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ and ${\displaystyle \Re (s)<0}$ (для дійсних s, помилка Γ(s, x) ~ −x^s / s знаходиться на прядку O(x^{min{s + 1, 0}}) if s ≠ −1 та O(ln(x)) якщо s = −1),
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\rightarrow \Gamma (s)}$ коли ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$,
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\rightarrow 1}$ коли ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$,
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$ як асимптотичний розклад при ${\displaystyle |z|\to \infty }$ та ${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$.^[5]

Нижню неповну гамма-функцію можна оцінити за допомогою розширення потужності рядка:[19]

${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)...(s+k)}}}$

Альтернативне розширення - це

${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$

де M це вироджена гіпергеометрична функція Куммера.

Коли дійсна частина z додатна,

${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$

де

${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$

має нескінченний радіус збіжності.

Знову ж таки, з виродженими гіпергеометричними функціями і використанням тотожності Куммера,,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}{\rm {d}}u=\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}{\rm {d}}u=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}{\rm {d}}u.\end{aligned}}}$

Для фактичного обчислення числових значень ланцюговий дріб Гауса забезпечує корисне розширення:

${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Цей неперервний дріб збігається для всіх комплексних z, тоді і тільки тоді, коли s є додатнім цілим числом.

Верхня неповна гамма-функція має неперервний дріб

${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$^[6]

та

${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$^{[джерело?]}

Існує наступна теорема множення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}$

Дві пов'язані функції — це регуляризовані гамма-функції:

${\displaystyle P(s,x)={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},}$

${\displaystyle Q(s,x)={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).}$

${\displaystyle P(s,x)}$ — це функції розподілу ймовірностей для випадкових змінних гамма-функції з параметром форми ${\displaystyle s}$ та коефіцієнтом масштабу 1.

Коли ${\displaystyle s}$ ціле, ${\displaystyle Q(s,\lambda )}$ є сукупною функцією розподілу для змінних Пуассона: Якщо ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle {\rm {Poi}}(\lambda )}$ випадковою величиною, тоді

${\displaystyle Pr(X<s)=\sum _{i<s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s,\lambda )}{\Gamma (s)}}=Q(s,\lambda ).}$

Ця формула може бути отримана шляхом повторного інтегрування частинами.

Похідна верхньої неповної гамма-функції ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ по відношенню до x добре відома. Вона задається від'ємним підсумком від його інтегрального визначення (від оцінюваного на нижній межі):

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$

Похідна по відношенню до її першого аргументу ${\displaystyle s}$ задана як^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$

і друга похідна як

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]}$

де функція ${\displaystyle T(m,s,x)}$ є особливим випадком G-функції Мейєра

${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$

Цей конкретний окремий випадок має власні властивості внутрішнього закриття, тому він може використовуватися для виразу всіх послідовних похідних. В загальному,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$

де ${\displaystyle P_{j}^{n}}$ це перестановка, визначена символом Похгамера:

${\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$

Усі такі похідні можуть бути сформовані послідовно з:

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$

та

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}[T(m-1,s,x)+T(m,s,x)]}$

Ця функція ${\displaystyle T(m,s,x)}$ може бути обчислена з представлення її серії, дійсної для ${\displaystyle |z|<1}$,

${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}}$

з умовою, що s - це не від'ємне ціле число чи нуль. У такому випадку треба використовувати обмеження. Результати для ${\displaystyle |z|\geq 1}$ можна отримати за допомогою аналітичного продовження. Деякі особливі випадки цієї функції можуть бути спрощені. Наприклад, ${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$, ${\displaystyle x\,T(3,1,x)={\rm {E}}_{1}(x)}$, де ${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)}$ це Інтегральна показникова функція. Ці похідні та функція ${\displaystyle T(m,s,x)}$ дають точні розв'язання для ряду інтегралів шляхом повторного диференціювання інтегрального визначення верхньої неповної гамма-функції. До прикладу,

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}{\rm {d}}t={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}{\rm {d}}t={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$

Ця формула може бути далі наповнена або узагальнена на величезний клас перетворення Лапласа та перетворення Мелліна. У поєднанні з системою комп'ютерної алгебри експлуатація спеціальних функцій забезпечує потужний метод вирішення певних інтегралів, зокрема тих, що зустрічаються у практичних інженерних застосуваннях.

Наступні невизначені інтеграли легко отримати при використанні інтегрування частинами:

${\displaystyle \int x^{b-1}\gamma (s,x)\mathrm {d} x={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)+\Gamma (s+b,x)\right).}$

${\displaystyle \int x^{b-1}\Gamma (s,x)\mathrm {d} x={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right),}$

Нижня і верхня неповна гамма-функція поєднуються через перетворення Фур'є:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}\mathrm {d} z={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$

Це випливає, наприклад, з відповідною спеціалізацією від (Gradshteyn та Ryzhik, 2015, §7.642)

1. ↑ DLMF, Incomplete Gamma functions, analytic continuation
2. ↑ DLMF, Incomplete Gamma functions, Special Values, 8.4.4
3. ↑ DLMF, Incomplete Gamma functions, Special Values, 8.4.15
4. ↑ Weisstein, Eric W. Incomplete Gamma Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (equation 2)
5. ↑ DLMF, Incomplete Gamma functions, 8.11(i)
6. ↑ Abramowitz and Stegun p. 263, 6.5.31
7. ↑ [K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149–165, [1]^{[недоступне посилання]}

• people.math.sfu.ca Incomplete Gamma function. §6.5.
• Allasia, Giampietro; Besenghi, Renata (1986). Numerical calculation of incomplete gamma functions by the trapezoidal rule. Numer. Math. 50 (4): 419—428. doi:10.1007/BF0139666.
• Amore, Paolo (2005). Asymptotic and exact series representations for the incomplete Gamma function. Europhys. Lett. 71 (1): 1—7. doi:10.1209/epl/i2005-10066-6. MR 2170316.
• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
• DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (Dec 1986). Computation of the incomplete gamma function ratios and their inverse. ACM Transactions on Mathematical Software. 12 (4): 377—393. doi:10.1145/22721.23109.
• Barakat, Richard (1961). Evaluation of the Incomplete Gamma Function of Imaginary Argument by Chebyshev Polynomials. Math. Comp. 15 (73): 7—11. doi:10.1090/s0025-5718-1961-0128058-1. MR 0128058.
• Carsky, Petr; Polasek, Martin (1998). Incomplete Gamma F_m(x) functions for real and complex arguments. J. Comput. Phys. 143 (1): 259—265. doi:10.1006/jcph.1998.5975. MR 1624704.
• Chaudhry, M. Aslam; Zubair, S. M. (1995). On the decomposition of generalized incomplete Gamma functions with applications to Fourier transforms. J. Comput. Appl. Math. 59 (101): 253—284. doi:10.1016/0377-0427(94)00026-w. MR 1346414.
• DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (Sep 1987). ALGORITHM 654: FORTRAN subroutines for computing the incomplete gamma function ratios and their inverse. ACM Transactions on Mathematical Software. 13 (3): 318—319. doi:10.1145/29380.214348. (See also www.netlib.org/toms/654).
• Früchtl, H.; Otto, P. (1994). A new algorithm for the evaluation of the incomplete Gamma Function on vector computers. ACM Trans. Math. Softw. 20 (4): 436—446. doi:10.1145/198429.198432.
• Gautschi, Walter (1998). The incomplete gamma function since Tricomi. Atti Convegni Lincei. 147: 203—237. MR 1737497.
• Gautschi, Walter (1999). A Note on the recursive calculation of Incomplete Gamma Functions. ACM Trans. Math. Softw. 25 (1): 101—107. doi:10.1145/305658.305717. MR 1697463.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin author-first5=Alan, Michail Yulyevich; Jeffrey (2015). 8.35.. У Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (ред.). Table of Integrals, Series, and Products (English) (вид. 8). [Academic Press, Inc.] с. 908—911. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. {{cite book}}: Пропущено вертикальну риску в: |author-last4= (довідка)
• Jones, William B.; Thron, W. J. (1985). On the computation of incomplete gamma functions in the complex domain. J. Comp. Appl. Math. 12—13: 401—417. doi:10.1016/0377-0427(85)90034-2. MR 0793971.
• Mathar, Richard J. (2004). Numerical representation of the incomplete gamma function of complex-valued argument. Numerical Algorithms. 36 (3): 247—264. doi:10.1023/B:NUMA.0000040063.91709.5. MR 2091195.
• Miller, Allen R.; Moskowitz, Ira S. (1998). On certain Generalized incomplete Gamma functions. J. Comput. Appl. Math. 91 (2): 179—190. doi:10.1016/s0377-0427(98)00031-4.
• Paris, R. B. (2002). A uniform asymptotic expansion for the incomplete gamma function. J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 323—339. doi:10.1016/S0377-0427(02)00553-8. MR 1936142.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (вид. 3). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Takenaga, Roy (1966). On the Evaluation of the Incomplete Gamma Function. Math. Comp. 20 (96): 606—610. doi:10.1090/S0025-5718-1966-0203911-3. MR 0203911.
• Temme, Nico (1975). Uniform Asymptotic Expansions of the Incomplete Gamma Functions and the Incomplete Beta Function. Math. Comp. 29 (132): 1109—1114. doi:10.1090/S0025-5718-1975-0387674-2. MR 0387674.
• Terras, Riho (1979). The determination of incomplete Gamma Functions through analytic integration. J. Comp. Phys. 31: 146—151. doi:10.1016/0021-9991(79)90066-4. MR 0531128.
• Tricomi, Francesco G. (1950). Sulla funzione gamma incompleta. Ann. Mat. Pura Appl. 31: 263—279. doi:10.1007/BF02428264. MR 0047834.
• Tricomi, F. G. (1950). Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Gammafunktion. Math. Zeitsch. 53 (2): 136—148. doi:10.1007/bf01162409. MR 0045253.
• van Deun, Joris; Cools, Ronald (2006). A stable recurrence for the incomplete gamma function with imaginary second argument. Numer. Math. 104: 445—456. doi:10.1007/s00211-006-0026-1. MR 2249673.
• Winitzki, Serge (2003). Computing the incomplete gamma function to arbitrary precision. Lect. Not. Comp. Sci. 2667: 790—798. doi:10.1007/3-540-44839-x_83. MR 2110953.
• Weisstein, Eric W. Incomplete Gamma Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.