Геаметрычная імавернасць

Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць[en]
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера[en]
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма
Г Р П

У тэорыі імавернасцей геаметрычная імавернасць — мадэль імавернаснай прасторы для задач, у якіх прастора элементарных падзей ёсць некаторым падмноствам прасторы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[1]:24-25.

Няхай ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \Omega }$ мае канечны дадатны ${\displaystyle n}$-мерны аб’ём, які пазначым праз ${\displaystyle |\Omega |}$. Праз ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу^[en] падмностваў ${\displaystyle \Omega }$. За імавернасць падзеі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ прымаецца лік

$${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},}$$

дзе праз ${\displaystyle |A|}$ пазначаны ${\displaystyle n}$-мерны аб’ём (мера Лебега) мноства ${\displaystyle A}$.

Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега.

Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Адзін з прыкладаў выкарыстання геаметрычнай імавернасці — задача Бюфона^[1]:26-27.

На гарызантальную паверхню, разлінееную паралельнымі^[en] прамымі на адлегласці ${\displaystyle 2a}$ паміж сабой кідаецца іголка даўжынёй ${\displaystyle 2l}$, ${\displaystyle 0<l<a}$. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што іголка перасячэ якую-кольвек прамую.

Становішча іголкі можна параметрызаваць^[en] значэннямі ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle \varphi }$, дзе ${\displaystyle x\in [0,a]}$ — адлегласць паміж цэнтрам іголкі і бліжэйшай прамой, а ${\displaystyle \varphi \in [0,\pi ]}$ — вугал паміж іголкай і прамымі. Параметры ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle \varphi }$ незалежныя адзін ад аднаго, таму за прастору элементарных падзей можна прыняць прамавугольнік ${\displaystyle \Omega =[0,\pi ]\times [0,a]}$.

З ілюстрацыі відаць, што іголка перасякае прамую тады і толькі тады, калі ${\displaystyle x\leq \sin {\varphi }}$. Такім чынам, падзея перасячэння адпавядае мноству ${\displaystyle A=\{(\varphi ,x)|0\leq \varphi \leq \pi ,0\leq x\leq l\sin {\varphi }\}}$. Знойдзем плошчу мноства ${\displaystyle A}$, палічыўшы інтэграл

$${\displaystyle |A|=\int _{0}^{\pi }l\sin {\varphi }d\varphi =-l\cos {\phi }{\Bigg |}_{0}^{\pi }=2l.}$$

Па формуле геаметрычнай імавернасці знаходзім ${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {2l}{a\pi }}.}$