Јакоб Бернули

Јакоб Бернули, познат и како Жак Бернули (27 декември 1654 – 16 август 1705), бил швајцарски математичар кој потекнува од истакнато семејство математичари. Тој бил познат по бројните придонеси во математичката анализа (калкулус) и заедно со својот брат Јохан Бернули биле едни од основачите на анализата на варијации. Неговиот најзначаен придонес е во областа на теоријата на веројатност, каде што ја дал првата верзија на законот за големи броеви во својот труд Ars Conjectandi.^[1]

Јакоб Бернули е роден во Базел, Швајцарија. Под притисок на своите родители се запишал на студии по теологија, успешно ги завршил и потоа работел во министерството. Но, не можејќи да ги игнорира своите желби продолжил и на студии по математика и астрономија, па патувајќи низ Европа за да ги проширува своите знаења под влијание на учењата на водечките научници во овие области на тоа време Худ, Роберт Бојл и Роберт Хук, Бернули направил погрешна теорија на комети. Откако се вратил во својата татковина започнал да предава механика на Универзитетот во Базел во 1683. Наредната година се оженил со Џудит Ступанус и имале две деца. Во текот на истата деценија започнало неговото плодно истражување и кариера. Неговите патувања му овозможиле да воспостави кореспонденција со многу врвни математичари и научници од неговата ера, и истата ја одржува во текот на целиот свој живот. Во негово време, тој ги проучувал најновите откритија во математика, вклучувајќи го делото на Кристијан Хајгенс De ratiociniis in aleae ludo, Geometrie од Рене Декарт и додатоците на Франс ван Шотен во него. Исто така ги проучувал и Исак Бароу и Џон Валис водејќи се од својот интерес за бескрајната геометрија. Освен тоа, во периодот од 1684 и 1689 биле пронајдени голем дел од резултатите кои беа потребни за да се создаде Ars Conjectandi. Тој бил назначен за професор по математика на Универзитетот во Базел во 1687 и останал на оваа позиција до крајот на својот живот. Во тоа време започнал туторство на својот брат Јохан Бернули во областа на математика.^[2]. Двајцата браќа заедно започнале да проучуваат калкулус создаден од Лајбниц во 1684, труд на диференцијални пресметки на Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, објавен во Acta Eruditorum. Исто така, тие ги проучувале публикациите на фон Чирнхаус. Мора да се разбере дека публикациите на Лајбниц за калкулус биле многу нејасни за математичарите во тоа време и дека браќата Бернули биле првите што се обиделе да ги разберат и применат Лајбницовите теории. Јакоб соработувал со својот брат на различни примени на калкулус. Но, атмосферата на соработка помеѓу двајцата браќа се претворила во соперништво, како кога почнала да се развива Јохановата математичка генијалност, потоа продолжила со меѓусебно напаѓање во печатот, па прераснала во поставување на тешки математички предизвици за да си ги измерат вештините и знаењето. Во 1697 нивниот однос целосно се срушил. Јакоб Бернули починал во 1705. Бернули избрал фигура на логаритамска спирала и мотото:

“Eadem mutata resurgo.” – „Променет, а сепак ист, јас се раѓам повторно.”

на неговата погребна плоча, спиралата направена од каменорезачите била во секој случај Архимедова спирала, „(Жак Бернули) напишал дека оваа спирала може да служи како симбол, или на храброст и постојаност во неволја, или на човечко тело, кое и покрај сите негови промени, дури и после смртта, ќе биде вратено во неговото точно и совршено себе.” Месечевиот кратер Бернули е исто така наречен во негова чест заедно со неговиот брат Јохан.

Првите придонеси на Јакоб Бернули биле комплекс на паралели на логика и алгебра објавени во 1685, работа на веројатноста во 1685 и геометрија во 1687. Неговиот резултат во геометрија дал конструкција да се дели било кој триаголник на четири еднакви делови со две нормални прави. Во 1689 објавил важен труд за бесконечните низи и го објавил својот закон за големи броеви во теоријата на веројатност. Бернули објавил пет расправи во областа на бесконечните низи во периодот помеѓу 1682 и 1704. Првите две расправи содржеле многу резултати, како и основниот резултат дека постојат отстапувања, за кои Бернули верува дека се нови, но тие всушност биле докажани од страна на Менголи 40 години претходно. Бернули не можел да изнајде затворена форма на , но успеал да покаже дека тоа се движи до конечна граница помала од 2. Ојлер е првиот кој го открил збирот на овие серии во 1737. Бернули исто така ги проучувал и експоненцијални низи кои произлегле од испитување на заедничкиот интерес. Во мај 1690 во еден труд објавен во Acta Eruditorum, Бернули покажал дека проблемот на утврдување на изохронот е еквивалентен со решавање на нелинеарна диференцијална равенка од прв ред. Изохронот, или со други зборови крива со тенденција на постојано опаѓање, е крива по чија должина честитка ќе се спушти под гравитација од било која точка до дното во точно исто време, без разлика која е почетната точка. Ова било изучувано од страна на Хајгенс во 1687 и Лајбниц во 1689. По откривањето на диференцијалната равенка, Бернули во тоа време ја решил со метод на поделба на променливи. Неговиот труд во 1690 е важен за историјата на калкулус, откако поимот интеграл се појавил за првпат во значење на интеграција. Во 1696 Бернули решил равенка, која денес е наречена [Бернулиева диференцијална равенка: . Исто така, тој ги испитувал острите криви и делумно ги изучувал поврзаните криви на парабола, логаритамска спирала и епициклоидите во 1692. Лемнискатата на Бернули за првпат беше измислена од страна на Јакоб Бернули во 1694. Во 1695 го проучувал проблемот на подвижниот мост кој ја бара онаа крива, така што тежината која се лизга долж линијата, секогаш го задржува мостот во балансирана состојба. Најоригиналното дело на Јакоб Бернули е Ars Conjectandi објавено во Базел во 1713, осум години по неговата смрт. Трудот бил нецелосен за време на неговата смрт, но сепак е дело од најголема значајност во теоријата на веројатност. Во книгата, Бернули ја разгледувал туѓата работа во областа на веројатност, особено работата на ван Шотен, Лајбниц и Престет. Бернулиевите броеви се појавуваат во книгата во дискусија за експоненцијални низи. Дадени се многу примери околу тоа колку еден поединец очекува да победи играјќи одредени игри на среќа. Терминот Бернулиево судење е резултат токму на оваа работа. Постојат интересни мисли околу тоа што веројатноста навистина е:

... Веројатноста како мерлив степен на сигурност, неопходност и можност, морал наспроти математичко очекување, априорна и апостериорна веројатност, очекување на победа кога играчите се поделени според умешноста, земање предвид на сите достапни аргументи, нивно вреднување, нивна пресметана евалуација, закон за големи броеви...

Бернули бил еден од најзначајните промотори на формалните методи на висока анализа. Елеганција ретко се наоѓа во неговиот метод на презентирање и изразување, но постои максимум интегритет.

Бернулиевиот модел на распределба се одликува со случајна променлива Х која може да земе само една од алтернативните вредности: 0 или 1. Веројатноста случајната променлива да земе вредност 0 е q, а вредноста 1 е p, притоа p+q=1. Според тоа, веројатносната распределба на Бернулиева алеаторна променлива е:

Параметрите на Бернулиевата распределба се:

1. Очекувана вредност: E(X)=M=p
2. Варијанса: σ²=p(1-p)=pq

Бернулиевиот модел на распределба е дефиниран само со еден параметар:р. Оваа распределба е прикладна за експерименти со кои го тестираме јавувањето на еден настан, или спротивен настан: исправен или неисправен, успешен или неуспешен, машки или женски итн. Во секој од овие примери, во зависност од предметот на нашето истражување, едниот настан го означуваме како успех, а другиот како неуспех. Таквиот опит кој може да продуцира само два резултати, се нарекува Бернулиев опит. Важна генерализација на Бернулиевата распределба се однесува на случајот кога случаен експеримент со два можни исхода се повторува неколкупати и повторувањата се независни. Веројатностите овде може да ги утврдиме со користење на биномна распределба. Веројатноста од успех во еден поединечен експеримент е р и дека се спроведени n експеримети. Успехот би можел да биде кој било цел број од 0 до n, а ние сме заинтересирани за веројатноста за добивање на точно Х=х успеси во n експеримети. Биномната распределба, за разлика од Бернулиевата, е дефинирана со два параметри, n и p. И покрај аритметичката средина и варијансата, тука се пресметуваат и коефициент на асиметрија и коефициент на сплоснатост. За пресметување на веројатноста да се добијат х успеси во n опити се користи соодветен биномен образец.^[3]

Бернули ја открил математичката константа е проучувајќи го прашањето за заедничкиот интерес кој бара од него да ја пронајде вредноста на следниов израз, кој во суштина е бројот е: . Еден пример е сметка која започнува со 1.00$ и плаќа 100% камата на годишно ниво. Ако каматата се пишува еднаш, на крајот на годината, вредноста е 2.00$, но ако се пресметува и додава двапати во годината, 1$ се множи со 1.5 двапати, па излегува дека 1.00$×1.5² = 2.25$. Соединување на квартални приноси: 1.00$×1.254 = 2.4414$..., и месечни приноси: 1.00$×(1.0833...)12 = 2.613035$.... Бернули забележал дека оваа низа се приближува до одредена граница (сила на интерес), за повеќе и помали интервали на соединување. Соединувањето на неделни приноси е 2.692597$... додека соединувањето на дневните приноси 2.714567$... е само два центи повеќе. Користењето на n како број на интервали на соединување со камата од 100%/n во секој интервал, помага да се дојде до границата за големината на n, која е всушност познатата константа е: со континуирано соединување, вредноста на сметката ќе достигне до бројот 2.7182818$.... Општо земено, сметка што започнува со 1$, а приноси од (1+R) долари на камата, ќе донесе eR долари со континуирано, непрекинато соединување.

• Ars Conjectandi
• Јакоб Бернули — Проект „Математичко родословие“
• Bernoulli, Jakob (1654-1705) , Wolfram Research.
• Family Squabbles: The Bernoulli Family
• The Bernoulli Number Page
• 18th century mathematics - Bernoulli brothers, The Story of Mathematics.