Циклічний граф Q 8 . Кожен колір це послідовність степенів деякого елемента, зв'язана з нейтральним елементом — (1). Для прикладу, червоний цикл показує, що i 2 = −1, i 3 = −i та i 4 = 1. А також (−i )2 = −1, (−i )3 = i та (−i )4 = 1.В теорії груп , група кватерніона є неабелевою [en] групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q 8 і представляється заданням групи
Q
=
⟨
−
1
,
i
,
j
,
k
∣
(
−
1
)
2
=
1
,
i
2
=
j
2
=
k
2
=
i
j
k
=
−
1
⟩
,
{\displaystyle Q=\langle -1,i,j,k\mid \;\;(-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle ,}
де 1 (нейтральний елемент ) та −1 комутують зі всіма елементами групи.
Множення елементів {±i , ±j , ±k } подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі .
i
j
=
k
,
j
i
=
−
k
,
j
k
=
i
,
k
j
=
−
i
,
k
i
=
j
,
i
k
=
−
j
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}}
⟨
x
,
y
∣
x
2
=
y
2
,
y
−
1
x
y
=
x
−
1
⟩
.
{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .\,\!}
Група кватерніона може бути представлена як підгрупа загальної лінійної групи :
Q
=
{
±
1
,
±
i
,
±
j
,
±
k
}
→
G
L
2
(
C
)
{\displaystyle \ Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
де
1
↦
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
i
↦
(
−
1
0
0
−
−
1
)
{\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt {-1}}&0\\0&-{\sqrt {-1}}\end{pmatrix}}}
j
↦
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
k
↦
(
0
−
1
−
1
0
)
{\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&{\sqrt {-1}}\\{\sqrt {-1}}&0\end{pmatrix}}}
Всі матриці мають одиничний детермінант , тому це представлення Q 8 в спеціальну лінійну група SL2 (C ).
Також важливим є представлення Q 8 в 8 елементів 2-векторного простору над скінченним полем F 3 :
Q
=
{
±
1
,
±
i
,
±
j
,
±
k
}
→
G
L
(
2
,
3
)
{\displaystyle \ Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} (2,3)}
де
1
↦
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
i
↦
(
1
1
1
−
1
)
{\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
j
↦
(
−
1
1
1
1
)
{\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}}
k
↦
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
де {−1,0,1} елементами з поля F 3 . Всі матриці мають одиничний детермінант над F 3 , тому це представлення Q 8 в спеціальну лінійну групу SL(2, 3). Насправді Q 8 є нормальною підгрупою SL(2, 3) індексу 3.
