Теорема Лагранжа (теорія груп)

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Характер групи Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Теорема Лагранжа — твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

${\displaystyle |G|=|G:H|\cdot |H|}$,

де ${\displaystyle |G:H|}$ позначає індекс групи ${\displaystyle G}$ по підгрупі ${\displaystyle H}$,тобто кількість класів суміжності ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle |G|}$, ${\displaystyle |H|}$ позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Нехай ${\displaystyle G}$ є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності ${\displaystyle \{gH\colon g\in G\}}$ групи ${\displaystyle G}$ щодо ${\displaystyle H}$. Ця множина розбиває групу ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle n=|G:H|}$ рівнопотужних множин: ${\displaystyle g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{n}H}$.

Тобто

${\displaystyle G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \dots \cup g_{n}H}$,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

${\displaystyle |G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\dots +|g_{n}H|}$,

і враховуючи їх рівнопотужність з ${\displaystyle H}$, остаточно отримуємо

${\displaystyle |G|=|H|+|H|+\dots +|H|=n|H|}$,

тобто:

${\displaystyle |G|=|G:H|\cdot |H|}$.

1. Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ однакова і називається індексом підгрупи ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ (позначається ${\displaystyle [G:H]}$).^[1]
2. Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи ${\displaystyle G}$ є дільником порядку ${\displaystyle G.}$^[2]
3. Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи ${\displaystyle G}$ є дільником ${\displaystyle G}$. Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
4. Група порядку ${\displaystyle p}$, де ${\displaystyle p}$ — просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати ${\displaystyle 1}$, всі елементи, крім одиниці, мають порядок ${\displaystyle p}$, а отже, кожен з них породжує групу.)^[3]

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення: нехай ${\displaystyle G}$ є скінченною групою і маємо ${\displaystyle K\leqslant H\leqslant G}$, тоді

${\displaystyle |G:H|\cdot |H:K|=|G:K|}$.

З теореми Лагранжа випливає:

${\displaystyle |G:H|\cdot |H|=|G|=|G:K|\cdot |K|}$ і також

${\displaystyle |H:K|\cdot |K|=|H|}$,

звідки

${\displaystyle |G:H|\cdot |H:K|={\frac {|G|}{|H|}}\cdot {\frac {|H|}{|K|}}={\frac {|G:K|\cdot |K|}{|K|}}=|G:K|}$.

• Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Ганюшкін О. Г., Безущак О. О. Теорія груп: Навчальний посібник. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2005.(укр.)

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)