Класифікація простих скінченних груп

У математиці класифікацією простих скінченних груп називають теорему, згідно з якою будь-яка скінченна проста група належить до одного з описаних нижче класів. Ці класи можна розглядати як елементарні будівельні блоки, з яких побудовані всі скінченні групи, таким же чином, як прості числа є «цеглинами», з яких побудовані всі натуральні числа. Теорема Жордана — Гьольдера є більш математично чітким виразом цього принципу.

Доведення теореми про класифікацію займає десятки тисяч сторінок, і складається з кількох сотень окремих статей, опублікованих, переважно, між 1955 і 2004 роками. Горенстейн, Ліонс і Соломон опублікували між 1994 і 2005 роками переглянуті й спрощені версії доказів.

Положення теореми про класифікацію

Кожна скінченна проста група є ізоморфною одній з наступних груп^[1]:

Циклічна група (Z_n) простого порядку (цей і два наступних класи включають в себе нескінченну кількість груп)
Знакозмінна група перестановок (A_n) не менш як 5 елементів
Прості групи Лі
Одна з 26 спорадичних груп
Група Тітса^[en] (яка іноді вважається 27-ю спорадичною групою)

Теорема про класифікацію має застосування в багатьох галузях математики, через те, що багато питань, що стосуються скінченних груп, можуть бути зведені до простих скінченних груп. Завдяки теоремі про класифікацію, на ці питання можна знайти відповідь, перебравши усі типи простих скінченних груп.

Історія

Перші прості скінченні групи були знайдені ще Галуа, творцем теорії груп — він відкрив знакозмінні групи, а також проєктивну групу рангу 2, а в 60-х роках XIX століття Матьє відкрив перші п'ять спорадичних груп^[2], проте до початку XX століття математики вважали класифікацію всіх скінченних груп нездійсненною мрією. Утім, у першій половині XX століття, з розвитком інструментів дослідження груп, ситуація змінилася. Важливим етапом у цьому стала теорема Брауера — Фаулера про те, що існує лише скінченна кількість простих груп із заданим централізатором інволюції. Ще важливішою була теорема Томпсона — Фейта, що була доведена в 1962 році й стверджувала, що будь-яка некомутативна проста група містить парну кількість елементів — фактично, вона частково розв'язала проблему класифікації, а саме, показала, що всі прості групи з непарною кількістю елементів є групою лишків за простим модулем^[2].

В 1972 році Деніел Горенстейн^[en]запропонував програму з 16 пунктів, виконання якої дозволило б побудувати повну класифікацію груп. Завдяки скоординованим зусиллям великої кількості математиків, що взялися за доведення цих окремих пунктів, вже до кінця 1970-х практично вся ця програма була виконана. У 1980 році Горенстейн оголосив про остаточне доведення теореми про класифікацію. На той час, сукупний об'єм усіх доведень займав щонайменше 15000 сторінок.^[3]Проте, ще деякий час після цього з'являлися доповнення і уточнення до цієї теореми, так, Р. Грісс — молодший відкрив останню спорадичну групу, що носить назву група-монстр і має порядок приблизно 8×10⁵³, лише в 1982 році, а ще через деякий час з'ясувалося, що класифікація не включає в себе квазітонкі групи^[en]. Цю прогалину заповнив Ашенбах у 2004 році своїм 1200-сторінковим доведенням^[4].

У 1982 році Горенстейн започаткував нову велику програму по ревізії теореми про класифікацію, для знаходження коротшого й простішого доведення. Ця робота тривала і в XXI столітті. Спрощена форма доведення ще не написана до кінця, але, ймовірно, буде займати менше 10 000 сторінок^[3].

Детальний список класів простих груп

Нескінченні класи

Групи лишків за простим модулем Z_p^[2]
Знакозмінні групи Alt_n, парні перестановки n літер
Лінійні групи Шевалле A_n(q), n>1 або q<3
Симплектичні групи Шевалле C_n(q), n>2
Ортогональні групи Шевалле
- B_n(q), n>2 або q>2
- D_n(q), n>3
Виняткові групи Шевалле
- G₂(q), q>1
- F₄(q)
- E₆(q)
- E₇(q)
- E₈(q)
Групи Стейнберга
- ²A_n(q), n>2 або q>2
- ²D_n(q), n>3
- ³D₄(q)^[en]
- ²E₆(q)^[en]
Групи Судзукі ²B₂(q), q=2^m, m непарне, m>1
Групи Рі ²G₂(q), q=3^m, m непарне, m>1
²F₄(q), q=2^m, m непарне, [для q=2, ²F₄(2)']

Спорадичні групи

Докладніше: Спорадична група

Група	Число елементів
Групи Матьє
M₁₁	2⁴×3²×5×11 = 7 920
M₁₂	2⁶×3³×5×11 = 95 040
M₂₂	2⁷×3²×5×7×11 = 443 520
M₂₃	2⁷×3²×5×7×11×23 = 10 200 960
M₂₄	2¹⁰×3³×5×7×11×23 = 244 823 040
Групи Янко
J₁	2³×3×5×7×11×19 = 175 560
J₂	2⁷×3³×5²×7 = 604 800
J₃	2⁷×3⁵×5×17×19 = 50 232 960
J₄	2²¹×3³×5×7×11³×23×29×31×37×43 ≈ 8,68×10¹⁹
Група Хигмена–Сімса HS	2⁹×3²×5³×7×11 = 44 352 000
Група Маклафліна Mc	2⁷×3⁶×5³×7×11 = 898 128 000
Спорадична група Судзукі Suz	2¹³×3⁷×5²×7×11×13 ≈ 4,48×10¹¹
Група Рудваліса Ru	2¹⁴×3³×5³×7×13×29 ≈ 1,46×10¹¹
Група Хелда He	2¹⁰×3³×5²×7³×17 ≈ 4 030 387 200
Група Лайенса Ly	2⁸×3⁷×5⁶×7×11×31×37×67 ≈ 5,18×10¹⁶
Група О'Нена ON	2⁹×3⁴×5×7³×11×19×31 ≈ 4,61×10¹¹
Групи Конвея
C₁	2²¹×3⁹×5⁴×7²×11×13×23 ≈ 4,16×10¹⁸
C₂	2¹⁸×3⁶×5³×7×11×23 ≈ 4,23×10¹³
C₃	2¹⁰×3⁷×5³×7×11×23 ≈ 4,96×10¹¹
Групи Фішера
F₂₂	2¹⁷×3⁹×5²×7×11×13 ≈ 6,46×10¹³
F₂₃	2¹⁸×3¹³×5²×7×11×13×17×23 ≈ 4,09×10¹⁸
F₂₄	2²¹×3¹⁶×5²×7³×11×13×17×23×29 ≈ 1,26×10²⁴
Група Харади F₅	2¹⁴×3⁶×5⁶×7×11×19 ≈ 2,73×10¹⁴
Група Томпсона F₃	2¹⁵×3¹⁰×5³×7²×13×19×31 ≈ 9,07×10¹⁶
Група Фішера F₂ («монстреня»)	2⁴¹×3¹³×5⁶×7²×11×13×17×19×23×31×47 ≈ 4,15×10³³
Група Фішера–Грісса F₁ («монстр», «дружній велетень»)	2⁴⁶×3²⁰×5⁹×7⁶×11²×13³×17×19×23×29×31×41×47×59×71 ≈ 8,08×10⁵³

Доведення другого покоління

Доведення, що було практично завершене близько 1985 року, можна назвати доведенням першого покоління. Через надзвичайну його довжину, багато зусиль було покладене на те, щоб знайти нове, простіше доведення, що отримало назву доведення другого покоління. Рух, що мав на меті знайти це доведення, отримав назву «ревізіонізм», і також був започаткований Горенстейном. Шість томів нового доведення були випущені у 1994, 1996, 1998, 1999, 2002 і 2005 роках. У 2012 році Соломон оцінив ще невипущену частину доведення у 5 томів. Таким чином, загальний об'єм доведення другого покоління буде займати приблизно 5000 сторінок, не рахуючи двох томів Ашенбаха і Сміта присвячених квазітонким групам.

Горенстейн і його група вказує наступні причини, чому простіше доведення можливе^[5]:

Найбільш важливим є те, що відоме кінцеве твердження, що доводиться. Доки теорема про класифікацію не була доведена, не було відомо, скільки саме спорадичних груп існує, а отже, саме її формулювання не було відоме, що значно ускладнювало роботу. Як результат — різні частини теореми доводилися за допомогою різних технік, хоча могли бути генералізовані.
Деякі зі спеціальних випадків, що у доведенні першого покоління описувалися окремими теоремами, можуть бути об'єднані, і доведені більш загальним способом. Недоліком цього є те, що загальне доведення може бути складнішим для сприйняття, ніж кожне окреме.
Багато теорем з доведення першого покоління перекриваються, через те, що кордони між різними класами груп були проведені не найдоцільнішим чином. Перевизначення цих класів дозволить обійтися розглядом меншої кількості випадків.
Математики, що займаються теорією груп стали більш досвідченими і мають більшу кількість інструментів для такої роботи.

Завершеність доведення

Хоча наразі доведення теореми про класифікацію вважається завершеним і коректним^[3], деякі математики, в тому числі і ті, хто доклав великих зусиль для її доведення, як, наприклад, Ашбахер^[6], вважають, що не можна бути абсолютно впевненим, що не існує ніякої спорадичної групи, яка була пропущена в цьому доведенні. Загалом, наразі не всі роботи, що складають доведення теореми, є фактично опублікованими.