Словник термінів теорії груп

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Характер групи Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Для загального ознайомлення з теорією груп див. Група (математика) і Теорія груп.

Курсив позначає посилання на цей словник.

P-група — група, всі елементи якої мають порядок, рівний деякому степеню простого числа ${\displaystyle p}$ (не обов'язково однаковому в усіх елементів). Також говорять про примарну групу.

Абелева група — комутативна група.

Абелізація групи G — фактор-група G/[G,G]

Адитивна група кільця — група, елементами якої є всі елементи даного кільця, а операція збігається з операцією додавання в кільці.

Антигомоморфізм груп — відображення груп ${\displaystyle f:(G,*)\to (H,\times )}$ таке, що

${\displaystyle f(a*b)=f(b)\times f(a)}$

для довільних a і b в G (порівняйте з гомоморфізмом).

Абсолютно регулярна p-група — скінченна p-група, в якій ${\displaystyle |G\,:\,pG|<p^{p}}$, де ${\displaystyle pG}$ — підгрупа ${\displaystyle G}$, утворена p-ми степенями її елементів.

Вільна група, породжена множиною ${\displaystyle A}$ — група, породжена елементами цієї множини, що не має жодних співвідношень, крім співвідношень, що визначають групу. Всі вільні групи, породжені равнопотужними множинами, ізоморфні.

Головний ряд підгруп - ряд підгруп, в якому ${\displaystyle G_{i}}$ — максимальна нормальна в ${\displaystyle G}$ підгрупа з ${\displaystyle G_{i+1}}$, для всіх членів ряду.

Гомоморфізм груп — відображення груп ${\displaystyle f:(G,*)\to (H,\times )}$ таке, що

${\displaystyle F(a*b)=f(a)\times f(b)}$

для довільних a і b в G.

Група Шмідта — це ненільпотентна група, всі власні підгрупи якої нільпотентні.

Група Міллера — Морено — це неабелева група, всі власні підгрупи якої абелеві.

Групова алгебра групи G над полем K — це векторний простір над K, твірними якого є елементи G, а множення відповідає множенню елементів G.

Дія групи

Довжина ряду підгруп — число ${\displaystyle n}$ у визначенні ряду підгруп.

Експонента ${\displaystyle \exp(G)}$ скінченної групи ${\displaystyle G}$ — числова характеристика групи, рівна найменшому спільному кратному порядків всіх елементів групи ${\displaystyle G}$.

Елементарна група - група, яка є скінченною або абелевою, або одержується зі скінченних та абелевих груп послідовністю операцій взяття підгруп, епіморфних образів, прямих меж і розширень.

Ізоморфізм груп — бієктивний гомоморфізм.

Ізоморфні групи — групи, між якими існує хоча б один ізоморфізм.

Індекс підгрупи H у групі G — число суміжних класів в кожному (правому або лівому) з розкладів групи G за цією підгрупою H.

Індекси ряду підгруп — індекси ${\displaystyle |G_{i+1}:G_{i}|}$ у визначенні субнормального ряду підгруп.

Клас суміжності/суміжний клас (лівий або правий) підгрупи H в G. Лівий клас суміжності елемента ${\displaystyle g\in G}$ по підгрупі H в G це множина

${\displaystyle gH=\{gh|h\in H\}.}$

Аналогічно визначається правий клас суміжності:

${\displaystyle Hg=\{hg|h\in H\}.}$

Клас спряженості елемента ${\displaystyle g\in G}$ це множина

${\displaystyle \{hgh^{-1}|h\in G\}.}$

Комутантом групи є підгрупа, породжена всіма комутаторами групи, зазвичай позначається [G, G] або ${\displaystyle G\;'}$.

Комутативна група Група G є комутативною, або абелевою, якщо її операція * комутативна, тобто g*h=h*g ${\displaystyle \forall g,h\in G}$.

Комутатор елементів g і h є елемент [g, h] = ghg​​^-1h^-1. Елементи g і h називають комутуючими, якщо їх комутатор дорівнює одиничному елементу групи (таке відбувається коли ${\displaystyle gh=hg}$).

Комутатор підгруп — множина всіляких добутків ${\displaystyle \left\lbrace [g,h]|g\in G,h\in H\right\rbrace }$.

Композиційний ряд групиG-ряд підгруп, в якому всі фактори ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ —прості групи.

Кручення, TorG, комутативної або нільпотентної групи G — підгрупа всіх елементів скінченного порядку.

Локальна властивість групи ${\displaystyle G}$. Кажуть, що група ${\displaystyle G}$ має локальним властивістю ${\displaystyle P}$, якщо будь-яка звичайно породжена підгрупа з ${\displaystyle G}$ володіє цією властивістю. Прикладами можуть служити локальна кінцівку, локальна нільпотентності.

Локальна теорема. Кажуть, що для деякої властивості ${\displaystyle P}$ груп справедлива локальна теорема, якщо будь-яка група,локально володіє цією властивістю, сама має їм.

Наприклад: локально абелева група є абелевої, але локально кінцева група може бути нескінченною.

Локально скінченна група — група, яка певним чином (як індуктивна границя) будується зі скінченних груп.

Метабелева група — група, другий комутант якої тривіальний (розв'язна степеня 2).

Метациклчіна група — група, що має циклічну нормальну підгрупу, факторгрупа по якій також циклічна. Будь-яка скінченна група, порядок якої вільний від квадратів (тобто не ділиться на квадрат будь-якого числа), є метациклічною.

Мінімальна нормальна підгрупа

Мультиплікативна група тіла — група, елементами якої є всі ненульові елементи даного тіла, а операція збігається з операцією множення в тілі.

Напівпрямий добуток груп G і H над гомоморфізмом ${\displaystyle \phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)}$ (позначається по різному, в тому числі G⋊ _φ H) — множина G × H, наділена операцією *, для якої ${\displaystyle (g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})}$ для будь-яких ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$, ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$.

Нільпотентна група — група, що має центральний ряд підгруп. Мінімальна з довжин таких рядів називається її класом нільпотентності.

Норма групи — сукупність елементів групи, переставних з усіма підгрупами, тобто перетин нормалізаторів всіх її підгруп.

Нормалізатор підгрупи H в G — максимальна підгрупа G, в якій H нормальна. Інакше кажучи, нормалізатор є стабілізатором H при дії G на множині своїх підгруп спряженнями, тобто

${\displaystyle N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.}$

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа, нормальний дільник). H є нормальною підгрупою G, якщо для будь-якого елементу g в G gH=Hg, тобто праві і ліві класи суміжності H в G збігаються. Інакше кажучи, якщо ${\displaystyle \forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H}$.

Нормальний ряд підгруп — ряд підгруп, в якому ${\displaystyle G_{i}}$ нормальна в ${\displaystyle G}$, для всіх членів ряду.

Переставні елементи — пара елементів ${\displaystyle a,b\in G}$ такі що ${\displaystyle ab=ba}$.

Період групи — найменше спільне кратне порядків елементів даної групи.

Періодична група — група, кожен елемент якої має скінченний порядок.

Підгрупа — підмножина H групи G, яка є групою щодо операції, визначеної в G.

Підгрупа кручення див. кручення.

Для довільної підмножини S в G, <S> позначає найменшу підгрупу G, яка містить S.

Підгрупа Томпсона ${\displaystyle J(G)}$ групи ${\displaystyle G}$ — підгрупа, породжена всіма абелевих підгрупами максимального порядку з ${\displaystyle G}$.

Підгрупа Фіттінга ${\displaystyle F(G)}$ групи ${\displaystyle G}$ — підгрупа, породжена всіма нільпотентними нормальними підгрупами з ${\displaystyle G}$.

Підгрупа Фраттіні ${\displaystyle \phi (G)}$ групи ${\displaystyle G}$ — є перетин всіх максимальних підгруп групи ${\displaystyle G}$, якщо такі є, та сама група ${\displaystyle G}$ у противному випадку.

Полінільпотентна група

Порядок групи (G,*) — потужність G (для скінченних груп просто кількість елементів).

Порядок елемента g групи G — мінімальне натуральне число m таке, що g^m = e. У разі, якщо такого m не існує, вважається, що g має нескінченний порядок.

Природний гомоморфізм на фактор-групу за нормальною підгрупою ${\displaystyle H}$ — це гомоморфізм, що ставить у відповідність кожному елементу ${\displaystyle a}$ групи суміжний клас ${\displaystyle aH}$. Ядром цього гомоморфізму є підгрупа ${\displaystyle H}$.

Примарна група — група, всі елементи в якій мають порядок, рівний деякому степеню простого числа ${\displaystyle p}$ (не обов'язково однакового для всіх елементів). Також говорять про p-групи.

• Примарна абелева група

Проста група — група, в якій немає нормальних підгруп, крім тривіальної {e} і всієї групи.

Прямий добуток двох груп (G,·) і (H, •) — множина G×H пар, з операцією покомпонентного множення: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂, h ₁ •h₂).

Розширення групи — група, для якої дана група є нормальною підгрупою.

Розв'язна група — група, що володіє нормальним рядом підгруп з абелевими факторами. Найменша з довжин таких рядів називається її степенем розв'язності.

Розв'язний радикал ${\displaystyle S(G)}$ групи ${\displaystyle G}$ — підгрупа, породжена всіма розв'язними нормальними підгрупами з ${\displaystyle G}$.

Ряд підгруп — скінченна послідовність підгруп ${\displaystyle G_{0},G_{1},...,G_{n}}$ називається рядом підгруп, якщо ${\displaystyle G_{i}\leq G_{i+1}}$, для всіх ${\displaystyle i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G}$. Такий ряд записують у вигляді

${\displaystyle 1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G}$

або у вигляді

${\displaystyle G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1}$

Регулярна p-група — скінченна p-група, для будь-якої пари елементів ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ якої знайдеться елемент ${\displaystyle u}$ коммутанта підгрупи, породженої цими елементами, такий, що ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}u^{p}}$.

Надрозв'язна група — група, що має нормальний ряд підгруп з циклічними'факторами.

Скінченна група - група зі скінченним числом елементів.

Скінченна p-група —p-група скінченного порядку ${\displaystyle p^{n}}$.

Скінченно задана група (або скінченно певна група) — група, що має скінченну кількість породжуючихі задається за допомогою скінченної кількості співвідношень.

Скінченнопороджена абелева група — абелева група, що має скінченну систему утворюють .

Скінченнопороджена група - група, що має скінченну систему породжувальних.

Підгрупа Силова — ${\displaystyle p}$-підгрупа в ${\displaystyle G}$, що має порядок ${\displaystyle p^{n}}$, де ${\displaystyle |G|=p^{n}s}$, НОД ${\displaystyle (p,s)=1}$.

Співвідношення — тотожність, якій задовольняють породжуючі групи (при завданні групи утворюють і співвідношеннями).

Стабілізатор елемента ${\displaystyle p}$ множини ${\displaystyle M}$, на якій діє група ${\displaystyle G}$ - підгрупа ${\displaystyle St_{G}(p)\subset G}$, всі елементи якої залишають ${\displaystyle p}$ на місці: ${\displaystyle g\cdot p=p}$.

Субнормальний ряд підгруп — ряд підгруп, в якому підгрупа ${\displaystyle G_{i}}$ нормальна у підгрупі ${\displaystyle G_{i+1}}$, для всіх членів ряду.

Факторгрупою групиG по нормальній підгрупі H є множина класів суміжності підгрупи H з множенням, визначеним наступним чином:

${\displaystyle (aH)*(bH)=(ab)H.}$

Фактори субнормального ряду - фактор-групи ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ у визначеннісубнормального ряду підгруп.

Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна щодо всіх автоморфізмів групи.

Підгрупа Халловея — підгрупа, порядок якої взаємно простий з її індексом у всій групі.

Центр групи G, зазвичай позначається Z(G), визначається як

${\displaystyle Z(G)=\{g\in G|gh=hg\ \forall h\in G\}}$,

інакше кажучи, це максимальна підгрупа елементів, комутуючих з кожним елементом G.

Централізатор елемента — максимальна підгрупа, кожен елемент якої комутує з цим елементом.

Центральний ряд підгруп — нормальний ряд підгруп, в якому ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})}$, для всіх членів ряду.

Циклічна група — група, що складається з породжуючого елемента і всіх його цілих степенів. Скінченна у разі, якщо порядок породжуючого елемента скінченний.

Ядро гомоморфізму — прообраз нейтрального елемента при гомоморфізмі. Ядро завжди є нормальною підгрупою, більше того, будь-яка нормальна підгрупа є ядром ​​деякого гомоморфізму.

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)