Панцифрове число

Панцифрове число — ціле число, для якого в заданій основі серед значимих цифр зустрічається кожна цифра цієї основи хоча б раз. Наприклад 1 223 334 444 555 567 890 — панцифрове число з основою 10. Декілька перших панцифрових десяткових чисел:^[1]

1 023 456 789, 1 023 456 798, 1 023 456 879, 1 023 456 897, 1 023 456 978, 1 023 456 987, 1 023 457 689

Найменше панцифрове число при заданій основі b в десятковому записі можна отримати формулою:^[2]

${\displaystyle b^{b-1}+\sum _{k=2}^{b-1}kb^{b-1-k}}$

Далі наведено кілька найменших панцифрових чисел для певних основ:

В тривіальному сенсі, усі додатні цілі числа з основою 1 є панцифровими. В бінарному записі усі цілі числа панцифрові окрім 0 і чисел Мерсенна — ${\displaystyle 2^{n}-1}$. Чим більша основа, тим рідше зустрічаються панцифрові числа, хоча завжди можна знайти послідовність записавши всі цифри основи (не ставлячи нуль на перше місце), і додати певну кількість нулів до кінця числа.

І навпаки, чим менша основа, тим менше існує панцифрових чисел з неповторними цифрами. Єдине таке число для основи 2 це 2, але їх більше для основи 10.

В деяких випадках термін використовують для позначення тільки чисел з неповторними цифрами. Іноді число називають панцифровим навіть якщо воно не має нуля як значимої цифри, наприклад, 923 456 781.

Панцифрове число з основою 10 не може бути простим якщо воно не містить повторних цифр. Сума від 0 до 9 дорівнює 45, що задовільняє ознаку подільності для 3 і 9. Перше просте панцифрове число з основою 10 це 10 123 457 689.^[3]

Повторні цифри також мають бути присутні якщо панцифрове число є паліндромним^[en] (в усіх базах окрім унарної). Найменше панцифрове паліндромне число в базі 10 є 1 023 456 789 876 543 201.

Найбільше панцифрове число без повторних чисел яке також є квадратом рівне 9 814 072 356.

Два панцифрових числа Фрідмана без нуля є 123 456 789 = ((86 + 2 × 7)⁵ — 91) / 3⁴, і 987 654 321 = (8 × (97 + 6/2)⁵ + 1) / 3⁴.

Хоча більшість сказаного не розповсюджується на римське числення, панцифрові числа наявні і в ньому: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI.^[4]

Панцифрові числа використовуються у фантастиці і рекламі. Номер соціального страхування 987-65-4321 — зарезервоване панцифрове число для використання в рекламі. Деякі компанії використовують панцифрові числа з повторними цифрами для кредитних карток що використовуються для прикладу (інші використовують рядок нулів).

• 123 456 789 — перше панцифрове число без нуля.
• 3 816 547 290 — єдине панцифрове число в якому перші n цифр діляться на n.
• 9 876 543 210 — Найбільше панцифрове число без повторюваних цифр.
• 1 023 456 789 — Перше панцифрове число.
• 9 814 072 356 — Найбільший панцифровий квадрат без повторних цифр (квадрат 99 066).
• 12 345 678 987 654 321 — Панцифрове число з усіма цифрами окрім нуля в зростаючому і спадаючому порядку. Квадрат 111 111 111. Також є паліндромом.

• Weisstein, Eric W. Pandigital number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• De Geest, P. The Nine Digits Page(англ.)