Многавымерная выпадковая велічыня

Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць[en]
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера[en]
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма
Г Р П

Многавымерная выпадковая велічыня або выпадковы вектар — набор аднамерных выпадковых велічынь. Асобныя велічыні прадстаўляюць у выглядзе вектара, калі паміж імі ёсць пэўная сувязь, часта яны адлюстроўваюць розныя характарыстыкі аднаго аб’екта. Напрыклад выпадковым вектарам можа быць сукупнасць узросту, вагі і росту чалавека, якога выпадкова выбіраюць з пэўнай групы людзей.

Выпадковым ${\displaystyle n}$-мерным вектарам завецца адлюстраванне ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$ каардынатнымі функцыямі якога ёсць выпадковыя велічыні ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n},}$ зададзеныя на імавернаснай прасторы ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P).}$^[1]:93

Адлюстраванне ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ёсць ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-вымерным^[en] адлюстраваннем вымернай прасторы^[en] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ у вымерную прастору ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n}),}$ дзе ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{n}}$ — алгебра ўсіх барэлеўскіх падмностваў^[en] мноства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Для многавымерных выпадковых велічынь існуюць свае аналагі размеркавання і функцыі размеркавання^[1]:94.

Адлюстраванне ${\displaystyle P_{\boldsymbol {\xi }}:{\mathcal {B}}^{n}\to \mathbb {R} ,}$ якое для кожнага барэлеўскага мноства задаецца роўнасцю ${\displaystyle P_{\boldsymbol {\xi }}(B):=P({\boldsymbol {\xi }}\in B),}$ завецца размеркаваннем выпадковага вектара ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}.}$

Функцыя

${\displaystyle F_{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {x}})=F_{1,2,\dots ,n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=P(\xi _{1}<x_{1},\xi _{2}<x_{2},\dots ,\xi _{n}<x_{n})}$

завецца функцыяй размеркавання выпадковага вектара ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}).}$

Для функцый размеркавання многавымерных выпадковых велічынь справядлівыя наступныя ўласцівасці^[1]:94-97:

1. ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ неспадальная^[en] і непарыўная злева па кожным аргуменце;
2. калі значэнне прынамсі аднаго з аргументаў ${\displaystyle x_{k}}$ імкнецца да ${\displaystyle -\infty ,}$ то значэнне функцыі размеркавання імкнецца да нуля;
3. ${\displaystyle F(+\infty ,x_{2},\dots ,x_{n})=F_{2,3,\dots ,n}(x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}),}$ і аналагічныя роўнасці маюць месца, калі значэнні некаторых аргументаў роўныя ${\displaystyle +\infty }$ і ўрэшце ${\displaystyle F(+\infty ,+\infty ,\dots ,+\infty )=1;}$
4. для любых неадмоўных ${\displaystyle h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}$ мае месца няроўнасць ${\displaystyle F(x_{1}+h_{1},x_{2}+h_{2},\dots ,x_{n}+h_{n})-F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\geq 0.}$

Як і ў аднамерным выпадку, кожная функцыя ${\displaystyle F}$, якая задавальняе ўласцівасцям, мае адпаведны выпадковы вектар, чыя функцыя размеркавання супадае з ${\displaystyle F.}$

Размеркаванне выпадковага вектара завецца дыскрэтным, калі ён прымае канечную^[en] або злічальную колькасць значэнняў. Гэта эквівалентна таму, што кожная кардыната выпадковага вектара мае дыскрэтнае размеркаванне^[1]:99.

Прыклад многавымернага дыскрэтнага размеркавання — паліномнае размеркаванне.

Размеркаванне выпадковага вектара завецца абсалютна непарыўным, калі існуе амаль усюды^[en] неадмоўная функцыя ${\displaystyle f_{1,2,\dots ,n}:\mathbb {R} _{n}\to \mathbb {R} ,}$ такая, што^[1]:100

${\displaystyle P_{\boldsymbol {\xi }}(B)=P({\boldsymbol {\xi }}\in B)=\int _{B}f_{1,2,\dots ,n}({\boldsymbol {x}})d{\boldsymbol {x}}}$

для кожнага барэлеўскага мноства ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{n}}$, а інтэграл разумеюць у сэнсе Лебега^[en]. Функцыя ${\displaystyle f_{1,2,\dots ,n}({\boldsymbol {x}})}$ завецца шчыльнасцю размеркавання выпадковага вектара або шчыльнасцю сумеснага размеркавання выпадковых велічынь.

Прыклады многавымерных абсалютна непарыўных размеркаванняў — многавымернае нармальнае і размеркаванне Дзірыхле.

Калі ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — выпадковы вектар, а вектар-функцыя^[en] ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}:{\boldsymbol {\xi }}(\Omega )\to \mathbb {R} ^{m}}$ барэлеўская^[en], то кампазіцыя ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\boldsymbol {\varphi }}\circ {\boldsymbol {\xi }}}$ — выпадковы вектар з размеркаваннем^[1]:105

${\displaystyle P({\boldsymbol {\eta }}={\boldsymbol {\varphi }}({\boldsymbol {\xi }})\in B)=\int \limits _{{\boldsymbol {\varphi }}^{-1}(B)}dF_{\boldsymbol {\xi }},}$

дзе ${\displaystyle B}$ — адвольнае барэлеўскае мноства^[en], а ${\displaystyle F_{\boldsymbol {\xi }}}$ — функцыя размеркавання ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}.}$