அடிப்படை இயற்கணிதம்

அடிப்படை இயற்கணிதம் (elementary algebra) என்பது இயற்கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பிரிவு. இது இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துருக்களை விவரிக்கிறது. எண்கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதம் இரண்டிற்குமுள்ள முக்கிய வேறுபாடு, இயற்கணிதத்தில் கையாளப்படும் மாறிகள்தான். எண்கணிதத்தில் எண்கள் மற்றும் அவற்றைக் கொண்டு செய்யப்படும் அடிப்படைச் செயல்களான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் ஆகியவை குறித்த கருத்துக்கள் விவரிக்கப்படுகின்றன. அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் x மற்றும் y போன்ற மாறிகளும், எண்களுக்குப் பதில் a மற்றும் b போன்ற மாறிலிகளும் பயன்படுத்தப்பட்டு கணிதச் செயல்கள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.

மாறிகளை உபயோகித்து நுண்மமாக (abstract) சிந்தித்து செய்யப்படும் கணிப்புக்களை அடிப்படை இயற்கணிதம் கொண்டுள்ளது. இக்கணிதப் பிரிவை அடிப்படை அட்சர கணிதம் அல்லது அடிப்படை குறுக்கணக்கியல் என்றும் குறிப்பிடுவதுண்டு. பொதுவாக, மாணவர்கள் முதலில் எண்கணிதம் கற்று, பின்னர் இயற்கணிதத்தின் மூலம் மேலும் நுண்மமாகச் சிந்திக்க உந்தப்படுகின்றார்கள். இயற்கணிதத்தில் சமன்பாடுகள் முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன.

இயற்கணிதத்தில் ஓர் எண்ணுக்குப் பதிலாகப் பயன்படுத்தப்படும் எழுத்து அல்லது குறியீடு மாறி என அழைக்கப்படுகிறது.^[1] கணிதச் செயல்முறைகளை விதிகளாக பொதுமைப்படுத்துவதற்கு மாறிகள் மிகவும் பயனுள்ளதாக உள்ளன:

• கணிதச் சமன்பாடுகளையும் அசமன்பாடுகளையும் விதிகளாக மாற்றுவதற்கு மாறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle {\begin{cases}2+3=3+2\\(-5)+(7)=(7)+(-5).\end{cases}}\,}$....

அதாவது இரு முழு எண்களைக் கூட்டும் போது வரிசை மாற்றி செயல்பட்டாலும் இறுதி மதிப்பு மாறுவதில்லை. இதனை முழு எண்களின் பரிமாற்று விதியாகப் பின்வருமாறு தரலாம்.

அனைத்து a மற்றும் b எனும் முழு எண்களுக்கு:

${\displaystyle a+b=b+a\,}$

இது முழு எண்களுக்கு மட்டுமல்லாமல் மெய்யெண்களுக்கும் பொருந்தும். மாறிகளைப் பயன்படுத்தி செயல்முறைகளை விதிகளாக எழுதும் முறை, மெய்யெண்கள் கணத்தின் பண்புகளைப் பற்றிய அறிதலுக்கு முதல்படியாக அமைகிறது.

• மதிப்பு அறியப்படாத கணியங்களைக் குறிக்க மாறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு கணக்கில் மதிப்புத் தரப்படாத ஒரு கணியத்தினை ஒரு மாறியால் குறித்துக் கொண்டு சமன்பாடுகளை அமைத்து, அவற்றைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அம்மாறியின் அதாவது அது குறிக்கும் கணியத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடலாம்.

எளிய எடுத்துக்காட்டு:

இரு முழு எண்களின் கூடுதல் 11. அவற்றின் வித்தியாசம் 5 எனில் அவ்விரு எண்களைக்காண:

இரு எண்கள்: x, y என்க.

தரவினைக் கொண்டு அமைக்கப்படும் சமன்பாடுகள்:

${\displaystyle {\begin{cases}x+y=11\\x-y=5.\end{cases}}\,}$

கீழே உள்ள ஒருபடிச் சமன்பாடுகளின் தொகுதி பிரிவில் தரப்பட்டுள்ளபடி இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து வேண்டிய இரு எண்கள் 8, 3 என்பதைக் கணக்கிடலாம்.

இது ஒரு எளிய கணக்கு. இவ்வாறு சமன்பாடுகள் அமைத்துத் தீர்வு காணும் முறையில் மேலும் சிக்கலான கணக்குகளுக்கும் எளிதாக விடை காண முடியும்.

• கணியங்களுக்கு இடையேயான தொடர்புகளை அமைக்கவும் ஆய்வு செய்யவும் மாறிகள் பயன்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

ஒருவர் x புத்தகங்கள் விற்றால் அவருக்குக் கிடைக்கும் லாபம்: 3x − 10 ரூபாய்.

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் கோவை என்பது எண்கள் மற்றும் மாறிகளால் அமைந்த உறுப்புகளைக் கணித அடிப்படைச் செயல்களைக் கொண்டு இணைக்கப்பட்ட ஒரு அமைப்பு. கோவைகளின் இடப்பக்கத்தின் முதல் உறுப்பாக அதிக அடுக்குள்ள உறுப்பு எழுதப்படுவது வழக்கம்:

${\displaystyle x+3\,}$

${\displaystyle y^{2}+2x-3\,}$

${\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi \,}$

உயர் இயற்கணிதக் கோவைகள் சார்புகளைக் கொண்டும் அமையும்.

எண் கணிதத்தில் உள்ளதுபோல அடிப்படை இயற்கணிதத்திலும் அடிப்படைச் செயல்களான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன.

• கூட்டல்:
  • ஒன்றுகளின் மீள்கூட்டலைக் குறிக்கும்: a + n = a + 1 + 1 +...+ 1 (n தடவைகள்);
  • கூட்டலின் எதிர்ச் செயல் கழித்தல்: (a + b) − b = a (அல்லது) a − b = a + (−b);
• பெருக்கல்:
  • மீள்கூட்டலைக் குறிக்கிறது: a × n = a + a +...+ a (n தடவைகள்);
  • பெருக்கலின் எதிர்ச் செயல் வகுத்தல் (பூச்சியமற்ற எண்களுக்கு மட்டும்): (ab)/b = a, (அல்லது) a/b = a(1/b);
  • கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்புடையது: (a + b)c = ac + bc;
  • பெருக்கலைச் சுருக்கமாக எழுதுதல்: a × b ≡ ab;
• அடுக்கேற்றம்:
  • மீள்பெருக்கலைக் குறிக்கும்: aⁿ = a × a ×...× a (n தடவைகள்);
  • அடுக்கேற்றத்தின் எதிர்ச் செயல் மடக்கை காணல்: a^log_ab = b = log_aa^b;
  • பெருக்கலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்புடையது: (ab)^c = a^cb^c;
  • n-ம் படி மூலங்கள் வாயிலாக எழுதலாம்: a^m/n ≡ (ⁿ√a)^m எதிர் எண்களுக்கு இரட்டை மூலங்கள் மெய்யெண்களில் கிடையாது.
  • பண்பு: a^ba^c = a^{b + c};
  • பண்பு: (a^b)^c = a^bc.
  • பொதுவாக: a^b ≠ b^a மற்றும் (a^b)^c ≠ a^(bc);

கணிதத்தில் ஒரு கோவையின் மதிப்பு காணும் போது அல்லது சுருக்கி எழுதும் போது அதில் அமைந்துள்ள செயல்களைக் குறிப்பிட்ட வரிசையில் செய்ய வேண்டியது முக்கியமான ஒன்று. செயல்களின் வரிசை பின்வருமாறு அமையும்:

• தொகுப்புக் குறியீடுகள்: அடைப்புக்குறி, தனிமதிப்புக் குறியீடு மற்றும் பின்னக் கோடு
• அடுக்குக் குறி மற்றும் மூலக் குறியீடு
• பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்
• கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

ஆங்கிலத்தில் இந்த செயல் வரிசையை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்வதற்கு பின்வரும் நினைவி பயன்படுத்தப்படுகிறது:

PEMDAS

P -paranthesis

E -exponentiation

M -multiplication

D -division

A -addition

S -subtraction

இரண்டு இயற்கணிதக் கோவைகள் ஒரே மதிப்பு கொண்டவையாக, சமமானவையாக அமையும் என்பதை ஒரு சமன்பாடு நிலைநாட்டுகிறது. சில சமன்பாடுகள் அவற்றில் உள்ள மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மையானதாக இருக்கும். அத்தகைய சமன்பாடுகள் முற்றொருமைகள் என அழைக்கப்படும். மாறிகளின் குறிப்பிட்ட சில மதிப்புகளுக்கு மட்டும் உண்மையாக இருக்கும் சமன்பாடுகள் நிபந்தனைக்குட்பட்ட சமன்பாடுகள் எனப்படும். ஒரு சமன்பாட்டினை உண்மையாக்கும் மாறியின் மதிப்புகள் அச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் எனவும் அம்மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிக்கும் முறை, சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

• சமன் (=) என்ற உறவு:
  • எதிர்வு உறவு (reflexive relation): b = b;
  • சமச்சீர் உறவு (symmetric relation): a = b எனில் b = a;
  • கடப்பு உறவு (transitive relation): a = b மற்றும் b = c எனில் a = c.
  • a = b மற்றும் c = d எனில்: a + c = b + d; ac = bd;
  • a = b எனில் a + c = b + c.

• (<) - சிறியது என்ற உறவு:
  • கடப்பு உறவு: a < b மற்றும் b < c எனில் a < c;
  • a < b மற்றும் c < d எனில் a + c < b + d;
  • a < b மற்றும் c > 0 எனில் ac < bc;
  • a < b மற்றும் c < 0 எனில் bc < ac.
• (>) - பெரியது என்ற உறவு:
  • கடப்பு உறவு: a > b மற்றும் b > c எனில் a > c;
  • a > b மற்றும் c > d எனில் a + c > b + d;
  • a > b மற்றும் c > 0 எனில் ac > bc;
  • a > b மற்றும் c < 0 எனில் bc < ac.

நாம் அன்றாடம் சந்திக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள் கீழே தரப்படுகின்றன.

ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் தீர்ப்பதற்கு மிகவும் எளிதானவை. அவை மாறிலிகள் மற்றும் ஒரேயொரு மாறியை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle 2x+4=12.\,}$

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் ஒரே எண்ணால் கூட்டி அல்லது கழித்து அல்லது பெருக்கி அல்லது வகுத்து அச்சமன்பாட்டில் உள்ள மாறியை சமன்பாட்டின் ஒரே பக்கமாகத் தனிமைப்படுத்துவதே இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையாகும். சமன்பாட்டில் அமைந்துள்ள மாறி இவ்வாறாக சமன்பாட்டின் ஒரேபக்கத்துக்கு நகர்த்தப்பட்டால் சமன்பாட்டின் மற்றொரு பக்கத்தில் உள்ளது அம்மாறியின் மதிப்பாக அமையும். அதாவது அச்சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும்.^[2]

மேலே தரப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல்:

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் 4 -ஐக் கழிக்க:

${\displaystyle 2x+4-4=12-4\,}$

${\displaystyle 2x=8.\,}$

இப்பொழுது இருபுறமும் 2 -ஆல் வகுக்க:

${\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,}$

சமன்பாட்டின் தீர்வு:

${\displaystyle x=4.\,}$

இதே முறையில் இவ்வகையானப் பொதுச் சமன்பாடு ${\displaystyle ax+b=c\,}$ -ன் தீர்வு:

${\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}$

• ஒரு மாறியில் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு:

ax² + bx + c = 0,

இங்கு a பூச்சியமாக இருக்கக்கூடாது. ஏனெனில் அவ்வாறு இருந்தால் சமன்பாட்டின் இரண்டடுக்கு உறுப்பு பூச்சியமாகி இருபடிச்சமன்பாடு ஒருபடிச் சமன்பாடாக மாறிவிடும்.

• a ≠ 0 என்பதால், a -ஆல் வகுத்து மாற்றியமைக்க:

${\displaystyle x^{2}+px=q\,}$

இங்கு p = b/a மற்றும் q = −c/a.

வர்க்க நிரப்பி முறையில் இச்சமன்பாட்டைத் தீர்த்து இருபடி வாய்ப்பாட்டைக் காணலாம்:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

• இருபடிச் சமன்பாடுகளை காரணிப்படுத்தல் முறையிலும் தீர்க்கலாம்:

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle x^{2}+3x-10=0.\,}$

${\displaystyle (x+5)(x-2)=0.\,}$

தீர்வுகள்: x = 2 அல்லது x = −5

• கலப்பெண் முறைமையில் அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கும் இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு. ஆனால் மெய்யெண் தீர்வுகள் இல்லாத இருபடிச் சமன்பாடுகளும் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle x^{2}+1=0\,}$ எந்தவொரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கமும் -1 என இருக்காது என்பதால் இச்சமன்பாட்டிற்கு மெய்யெண்களில் தீர்வுகள் இல்லை.

• சில இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு இரண்டு தீர்வுகளும் சமமானவையாக அமையலாம்:

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.\,}$

இச்சமன்பாட்டிற்கு −1 இருமுறை தீர்வாக அமைகிறது.

${\displaystyle a^{X}=b,\,}$ a > 0

இச்சமன்பாட்டின் தீர்வு:

${\displaystyle X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}},}$ b > 0.

ஒரு அடுக்குக்குறிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு முன் அதனை மேலே தரப்பட்டுள்ள அடுக்குக்குறிச் சமன்பாட்டு வடிவிற்கு மாற்றக் கொள்ள வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}$

இருபுறமும் 1 -ஐக் கழிக்க:

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}=9}$

இருபுறமும் 3 -ஆல் வகுக்க:

${\displaystyle 2^{x-1}=3\,}$

எனவே தீர்வு:

${\displaystyle x-1=\log _{2}3\,}$

(அல்லது)

${\displaystyle x=\log _{2}3+1.\,}$

${\displaystyle \log _{a}X=b,\,}$ a > 0,

இச்சமன்பாட்டின் தீர்வு:

${\displaystyle X=a^{b}.\,}$

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6\,}$

இருபுறமும் 2 -ஐக் கூட்ட:

${\displaystyle 4\log _{5}(x-3)=8\,}$

இருபுறமும் 4 -ஆல் வகுக்க:

${\displaystyle \log _{5}(x-3)=2\,}$

எனவே தீர்வு:

${\displaystyle x-3=5^{2}=25\,}$

ஃ ${\displaystyle x=28.\,}$

படிமூலச் சமன்பாடு:

X^m/n = a, m, n -முழு எண்கள்

இதன் தீர்வு:

m ஒற்றை எண் எனில்,

${\displaystyle X={\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}}$

m இரட்டை எண் மற்றும் a ≥ 0 எனில்,

${\displaystyle X=\pm {\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\pm \left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}}$

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle (x+5)^{2/3}=4,\,}$

${\displaystyle x+5=\pm ({\sqrt {4}})^{3}=\pm 8}$

${\displaystyle x=-5\pm 8}$

${\displaystyle x=3,-13\,}$.

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுகளின் தொகுதி ஒன்றில் உள்ள சமன்பாடுகள் அனைத்தையும் நிறைவு செய்யும் தீர்வுகளை அதாவது மாறிகளின் மதிப்புகளைக் காணலாம். தீர்வுகள் காண்பதற்கு அத்தொகுதியில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையும் சமன்பாடுகளில் உள்ள மாறிகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருத்தல் வேண்டும்.

மூன்று மாறிகளில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் பொதுவடிவம்:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=d_{2}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=d_{3}.\end{cases}}\,}$

இரு மாறிகளில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் பொதுவடிவம்:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}.\end{cases}}\,}$

இரு மாறிகளில் அமைந்த இரண்டு சமன்பாடுகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டுத் தொகுதியைத் தீர்க்கும் முறை:

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,}$

இரண்டாவது சமன்பாட்டை இரண்டால் பெருக்க:

${\displaystyle 4x+2y=14\,}$

${\displaystyle 4x-2y=2.\,}$

இப்பொழுது இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்ட:

${\displaystyle 8x=16\,}$

இருபுறமும் 8 -ஆல் வகுக்க:

${\displaystyle x=2.\,}$

x = 2 என இரண்டில் ஏதேனும் ஒரு சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு, y = 3 என்பதை அடையலாம்.

எனவே மேலே தரப்பட்ட சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் முழுத்தீர்வு:

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}$

இந்த நீக்கல் முறையில் x -க்குப் பதில் முதலில் y -ஐ நீக்கிவிட்டு x-ன் மதிப்பையும் பின் அதனைப் பயன்படுத்தி y -ன் மதிப்பு கண்டுபிடித்தும் தீர்வு காணமுடியும்.

இரண்டில் ஏதாவது ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து y -ஐக் வருவித்துக் கொண்டு, அதனை அடுத்த சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு x -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இப்பொழுது x மதிப்பை ஏதாவது ஒரு சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y மதிப்பைக் காணலாம். அல்லது இதேபோல முதலில் y -க்குப் பதில் x -ஐ எடுத்துக் கொண்டும் தொடராலாம்.

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,}$

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து:

${\displaystyle 2x-y=1\,}$

இருபுறமும் 2x -ஐக் கழிக்க:

${\displaystyle 2x-2x-y=1-2x\,}$

${\displaystyle -y=1-2x\,}$

இருபுறமும் -1 ஆல் பெருக்க:

${\displaystyle y=2x-1.\,}$

இந்த y மதிப்பை முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட:

${\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}$

${\displaystyle 4x+4x-2=14\,}$

${\displaystyle 8x-2=14\,}$

${\displaystyle 8x-2+2=14+2\,}$

${\displaystyle 8x=16\,}$

${\displaystyle x=2\,}$

x = 2 என இரண்டில் ஏதேனும் ஒரு சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y = 3 எனக் காணலாம். எனவே சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வு:

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}$

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத் தொகுதிகளின் தீர்வுகளைப் பொறுத்து அவற்றை இரு வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்:

ஒருங்கிசைவுடையவை (consistent);

ஒருங்கிசைவுடைய ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வுகள்,

• தனித்தன்மை (uniqueness) உடையவை. அதாவது அத்தொகுதிக்கு ஒரேயொரு தீர்வு மட்டுமே இருக்கும்.

(அல்லது)

• முடிவிலா எண்ணிக்கையிலானவை.

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}$

ஒருங்கிசைவற்றவை (inconsistent).

ஒருங்கிசைவிலா ஒருபடிச் சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்குத் தீர்வுகளே கிடையாது.

${\displaystyle {\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,}$

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-4\end{cases}}\,}$

• Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-899618-79-8, also online digitized editions^[3] 2006,^[4] 1822.
• Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
• Redden, John. Elementary Algebra பரணிடப்பட்டது 2016-06-10 at the வந்தவழி இயந்திரம். Flat World Knowledge, 2011

• Elementary Algebra பரணிடப்பட்டது 2016-06-10 at the வந்தவழி இயந்திரம் An open textbook published by Flat World Knowledge.