Многогранник Ганнера

Многогранники Ганнера — клас опуклих многогранників, які можна отримати рекурсивно з відрізка за допомогою двох операцій: взяття прямого добутку і перехід до двоїстого многогранника.

Названі на честь Олофа Ганнера^[en], який розглянув їх 1956 року.^[1]

Побудова

Многогранники Ганнера утворюють мінімальний клас многогранників, що задовольняє таким умовам:^[2]

Відрізок прямої є одновимірним многогранником Ганнера.
Прямий добуток двох многогранників Ганнера є многогранником Ганнера. (Його розмірність дорівнює сумі розмірностей двох початкових многогранників.)
Многогранник, двоїстий до многогранника Ганнера є многогранником Ганнера. (Цей многогранник має ту ж розмірність, що й початковий.)

Зауваження

Замість операції переходу до двоїстого многогранника можна брати опуклу оболонку об'єднання многогранників, що містяться в перпендикулярних підпросторах.^[3]^[4]

Приклади

Квадрат — це многогранник Ганнера як прямий добуток двох відрізків.
Куб — це многогранник Ганнера як прямий добуток трьох відрізків.
Октаедр — також многогранник Ганнера як многогранник, двоїстий до куба.

В розмірності три будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний одному з цих двох видів многогранників.^[5] У вищих вимірах аналоги куба і октаедра, гіперкуби і гіпероктаедри, також є многогранниками Ганнера. Однак є й інші приклади. Зокрема восьмигранна призма — чотиривимірна призма, в основі якої октаедр. Вона є многогранником Ганнера, як добуток октаедра на відрізок.

Властивості

Многогранники Ганнера центрально-симетричні.
Будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний многограннику з координатами будь-якої вершини, що набувають значень 0, 1 або −1.^[6]
Загальне число граней $d$ $d$ -вимірного многогранника Ганнера дорівнює $3^{d}$ $3^{d}$ .
- $3^{d}$ -гіпотеза Калаї полягає в тому, що це число мінімальне для центрально-симетричних многогранників.^[3]
Протилежні грані многогранника Ганнера не перетинаються, і разом містять усі вершини многогранника.
- Зокрема, опукла оболонка двох таких граней є весь многогранник.^[6]^[7]
  - Як наслідок, усі грані многогранника Ганнера мають однакове число вершин.
    - Однак грані можуть не бути ізоморфними одна одній. Наприклад, у восьмигранній 4-призмі дві грані є октаедрами, а решта вісім граней — трикутними призмами.
- Двоїста властивість полягає в тому, що протилежні вершини суміжні з усіма гранями многогранника.
Об'єм Малера, тобто добуток об'ємів самого многогранника і його двоїстого, для многогранника Ганнера той самий, що у й куба.
- Гіпотеза Малера полягає в тому, що серед центрально-симетричних опуклих тіл цей об'єм досягає мінімуму на многогранниках Ганнера.^[8]
Число комбінаторних типів многогранників Ганнера розмірності d таке саме, як число послідовно-паралельних графів з d ребрами.^[4] Для d = 1, 2, 3, …, це послідовність A058387 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, …

Примітки

↑ Hanner, Olof (1956), Intersections of translates of convex bodies, Mathematica Scandinavica, 4: 65—87, MR 0082696.
↑ Freij, Ragnar (2012), Topics in algorithmic, enumerative and geometric combinatorics (PDF), Ph.D. thesis, Department of Mathematical Sciences, Chalmers Institute of Technology, архів оригіналу (PDF) за 18 січня 2021, процитовано 20 січня 2021.
↑ ^а ^б Kalai, Gil (1989), The number of faces of centrally-symmetric polytopes, Graphs and Combinatorics, 5 (1): 389—391, doi:10.1007/BF01788696, MR 1554357.
↑ ^а ^б Sanyal, Raman; Werner, Axel; Ziegler, Günter M. (2009), On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes, Discrete & Computational Geometry, 41 (2): 183—198, doi:10.1007/s00454-008-9104-8, MR 2471868/
↑ Kozachok, Marina (2012), Perfect prismatoids and the conjecture concerning with face numbers of centrally symmetric polytopes, Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D.Alexandrov (Yaroslavl, August 13-18, 2012) (PDF), P.G. Demidov Yaroslavl State University, International B.N. Delaunay Laboratory, с. 46—49{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання).
↑ ^а ^б Reisner, S. (1991), Certain Banach spaces associated with graphs and CL-spaces with 1-unconditional bases, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 43 (1): 137—148, doi:10.1112/jlms/s2-43.1.137, MR 1099093.
↑ Martini, H.; Swanepoel, K. J.; de Wet, P. Oloff (2009), Absorbing angles, Steiner minimal trees, and antipodality, Journal of Optimization Theory and Applications, 143 (1): 149—157, arXiv:1108.5046, doi:10.1007/s10957-009-9552-1, MR 2545946.
↑ Kim, Jaegil (2014), Minimal volume product near Hanner polytopes, Journal of Functional Analysis, 266 (4): 2360—2402, arXiv:1212.2544, doi:10.1016/j.jfa.2013.08.008, MR 3150164.

[h56-1] Hanner, Olof (1956), Intersections of translates of convex bodies, Mathematica Scandinavica, 4: 65—87, MR 0082696.

[2] Freij, Ragnar (2012), Topics in algorithmic, enumerative and geometric combinatorics (PDF), Ph.D. thesis, Department of Mathematical Sciences, Chalmers Institute of Technology, архів оригіналу (PDF) за 18 січня 2021, процитовано 20 січня 2021.

[k89-3] а ^б Kalai, Gil (1989), The number of faces of centrally-symmetric polytopes, Graphs and Combinatorics, 5 (1): 389—391, doi:10.1007/BF01788696, MR 1554357.

[swz-4] а ^б Sanyal, Raman; Werner, Axel; Ziegler, Günter M. (2009), On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes, Discrete & Computational Geometry, 41 (2): 183—198, doi:10.1007/s00454-008-9104-8, MR 2471868/

[5] Kozachok, Marina (2012), Perfect prismatoids and the conjecture concerning with face numbers of centrally symmetric polytopes, Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D.Alexandrov (Yaroslavl, August 13-18, 2012) (PDF), P.G. Demidov Yaroslavl State University, International B.N. Delaunay Laboratory, с. 46—49{{citation}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання).

[reisner-6] а ^б Reisner, S. (1991), Certain Banach spaces associated with graphs and CL-spaces with 1-unconditional bases, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 43 (1): 137—148, doi:10.1112/jlms/s2-43.1.137, MR 1099093.

[msdw-7] Martini, H.; Swanepoel, K. J.; de Wet, P. Oloff (2009), Absorbing angles, Steiner minimal trees, and antipodality, Journal of Optimization Theory and Applications, 143 (1): 149—157, arXiv:1108.5046, doi:10.1007/s10957-009-9552-1, MR 2545946.

[8] Kim, Jaegil (2014), Minimal volume product near Hanner polytopes, Journal of Functional Analysis, 266 (4): 2360—2402, arXiv:1212.2544, doi:10.1016/j.jfa.2013.08.008, MR 3150164.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]