Раўнамернае непарыўнае размеркаванне
Раўнамернае непарыўнае размеркаванне
Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне
U
[
a
,
b
]
{\displaystyle {\mathcal {U}}_{[a,b]}}
R
[
a
,
b
]
{\displaystyle R[a,b]}
[ 1] :85 Параметры
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty }
Носьбіт функцыі [en]
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Шчыльнасць імавернасці
{
1
b
−
a
,
x
∈
[
a
,
b
]
0
,
x
∉
[
a
,
b
]
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&x\in [a,b]\\0,&x\notin [a,b]\end{cases}}}
Функцыя размеркавання
{
0
,
x
<
a
x
−
a
b
−
a
,
x
∈
[
a
,
b
]
1
,
x
>
b
{\displaystyle {\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {x-a}{b-a}},&x\in [a,b]\\1,&x>b\end{cases}}}
Матэматычнае спадзяванне
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
Медыяна
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
Мода
усе значэнні ў
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
Дысперсія
1
12
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}
Сярэдняе абсалютнае адхіленне [en]
1
4
(
b
−
a
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(b-a)}
Каэфіцыент асіметрыі
0
{\displaystyle 0}
Каэфіцыент эксцэсу
−
6
5
{\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}
Энтрапія [en]
ln
(
b
−
a
)
{\displaystyle \ln(b-a)}
Утваральная функцыя момантаў [en]
{
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
,
t
≠
0
1
,
t
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}},&t\neq 0\\1,&t=0\end{cases}}}
Характарыстычная функцыя [en]
{
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
,
t
≠
0
1
,
t
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}},&t\neq 0\\1,&t=0\end{cases}}}
Раўнамернае непарыўнае размеркаванне — размеркаванне імавернасцей , характэрнае для выпадковай велічыні , якая прымае значэнні на некаторым прамежку [en]
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
шчыльнасць імавернасці якой нязменная на ўсім гэтым прамежку. Для раўнамерна размеркаванай выпадковай велічыні, імавернасці якіх-кольвек двух прамежкаў у
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
даўжыню .
Шчыльнасць імавернасці раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выгляд[ 1] :85
f
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
a
≤
x
≤
b
,
0
,
x
<
a
,
x
>
b
.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]0,&x<a,\ \ x>b.\end{cases}}}
Значэнні
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
∫
c
d
f
(
x
)
d
x
{\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}
[
c
,
d
]
,
{\displaystyle [c,d],}
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
,
{\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}
моманты . Часам іх прымаюць роўнымі 0, а часам
1
b
−
a
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}.}
Плошча пад графікам шчыльнасці заўсёды роўная 1, таму графік шчыльнасці раўнамернага непарыўнага размеркавання рысуюць у выглядзе прамавугольніка з даўжынёй
b
−
a
{\displaystyle b-a}
вышынёй
1
b
−
a
{\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}}
[ 2]
Функцыя размеркавання раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выгляд[ 1] :85
F
(
x
)
=
{
0
,
x
<
a
,
x
−
a
b
−
a
,
a
≤
x
≤
b
,
1
,
x
>
b
.
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]1,&x>b.\end{cases}}}
Матэматычнае спадзяванне раўнамернага непарыўнага размеркаванне мае выгляд[ 1] :120-121
E
[
X
]
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
x
1
b
−
a
d
x
=
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int _{a}^{b}x{\frac {1}{b-a}}dx=}
=
1
b
−
a
x
2
2
|
a
b
=
b
2
−
a
2
2
(
b
−
a
)
=
a
+
b
2
.
{\displaystyle ={\frac {1}{b-a}}{\frac {x^{2}}{2}}{\bigg \vert }_{a}^{b}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {a+b}{2}}.}
Дысперсію раўнамернага непарыўнага размеркавання можна знайсці па формуле[ 1] :120-121
V
a
r
(
X
)
=
E
[
X
2
]
−
(
E
[
X
]
)
2
=
∫
a
b
x
2
1
b
−
a
d
x
−
(
a
+
b
2
)
2
=
{\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {1}{b-a}}dx-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}=}
=
b
3
−
a
3
3
(
b
−
a
)
−
(
a
+
b
2
)
2
=
b
2
+
a
b
+
a
2
3
−
a
2
+
2
a
b
+
b
2
4
=
(
b
−
a
)
2
12
.
{\displaystyle ={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}+ab+a^{2}}{3}}-{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}
![{\displaystyle {\mathcal {U}}_{[a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906b38f0905adef68e3c8c7ca6de15858f7742ce)
![{\displaystyle R[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd6dfee0cce1654ff76a81a5f86a4f93088b59e)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&x\in [a,b]\\0,&x\notin [a,b]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa4c51a14161c15bf20403481f4e7159de82a12)
![{\displaystyle {\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {x-a}{b-a}},&x\in [a,b]\\1,&x>b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676dbb58f02e30695bf1a1ca5efc46be018dbfcb)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]0,&x<a,\ \ x>b.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67dfb497a3f389429b0115230bdbc51b1a06469)
![{\displaystyle [c,d],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d224646c92ef76fbe024ed2eb56cb2964cab95)
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]1,&x>b.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a468b62785dbfa1a8340cb0cf6dddf49a26bd1f4)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int _{a}^{b}x{\frac {1}{b-a}}dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa55e856de974f9ebacfc7a0b517b184e9027d71)
![{\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {1}{b-a}}dx-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f4a8f137fec184ea08cf10114343bb9c1cd820)
