Размеркаванне Пуасона

Размеркаванне Пуасона

Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )}$, ${\displaystyle \Pi (\lambda )}$[1]:82
Параметры	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ — частата
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ (Натуральныя лікі з нулём)
Функцыя імавернасці	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},}$ або ${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},}$ або ${\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}$ (для ${\displaystyle k\geq 0,}$ дзе ${\displaystyle \Gamma (x,y)}$ — верхняя няпоўная гама-функцыя[en], ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$ — цэлая частка[en], а ${\displaystyle Q}$ — рэгулярызаваная гама-функцыя[en])
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle \lambda }$
Медыяна	${\displaystyle \approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor }$
Мода	${\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor }$
Дысперсія	${\displaystyle \lambda }$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle \lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}$   або для вялікіх ${\displaystyle \lambda }$   ${\displaystyle {\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]}$
Інфармацыя Фішэра[en]	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$

Размеркава́нне Пуасо́на — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае імавернасць здарэння пэўнай колькасці падзей за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй частатой і незалежна ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея^[2].

Напрыклад, кругласутачны кол-цэнтр прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

Размеркаванне атрымана Сімеонам Дэні Пуасонам у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы біномнага размеркавання для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні ${\displaystyle N}$, якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часу^[3]:205-207. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе Абрахамам дэ Муаўрам у De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus^[4][5][6][7]. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання закона Стыглера^[en], і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўра^[8].

У 1860 годзе Сайман Ньюкам^[en] выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці зорак на адзінку прасторы^[9]. У 1898 годзе Ладзіслаус Барткевіч^[en] прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат прускай арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў^[10].

Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня ${\displaystyle X}$ мае размеркаванне Пуасона з параметрам ${\displaystyle \lambda >0,}$ калі яе функцыя імавернасці мае выгляд:

${\displaystyle p_{X\sim \Pi (\lambda )}(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },}$

дзе

• ${\displaystyle k}$ — колькасць здарэнняў падзеі (${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$)
• ${\displaystyle e}$ — лік Эйлера (${\displaystyle e=2.71828\ldots }$)
• ${\displaystyle !}$ — фактарыял.

Каб вывесці функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, увядзём функцыю ${\displaystyle P(n;t)}$ — імавернасць таго, што за прамежак часу даўжынёй ${\displaystyle t}$ (у некаторых адзінках вымярэння, што неістотна для вывядзення) адбудзецца ${\displaystyle n}$ падзей, пры гэтым падзеі незалежныя.

Разаб’ём прамежак на часткі ${\displaystyle \delta t}$ настолькі маленькія, што імавернасцю здарэння дзвюх ці больш падзей за ${\displaystyle \delta t}$ можна пагрэбаваць ${\displaystyle (P(2;\delta t)\approx 0).}$ Пры гэтым дапусцім, што ${\displaystyle P(1;\delta t)=\lambda \delta t,}$ а ${\displaystyle P(0;\delta t)=1-\lambda \delta t.}$ Гэта значыць, што за час ${\displaystyle t}$ здараецца ў сярэднім ${\displaystyle \lambda \delta t\cdot (t/\delta t)=\lambda t}$ падзей, то бок ${\displaystyle \lambda }$ выконвае ролю частаты.

Каб атрымаць функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, трэба знайсці ${\displaystyle P(n;1)}$ — імавернасць здарэння ${\displaystyle n}$ падзей за адзінку часу. Для пачатку можна знайсці ${\displaystyle P(0;t)}$ і метадам матэматычнай індукцыі абагульніць гэты вынік на іншыя ${\displaystyle n}$.

Карыстаючыся незалежнасцю падзей, заўважым, што

${\displaystyle P(0;t+\delta t)=P(0;t)\cdot P(0;\delta t)=P(0;t)\cdot (1-\lambda \delta t).}$

Перапішам гэтую роўнасць наступным чынам:

${\displaystyle {\frac {P(0;t+\delta t)-P(0;t)}{\delta t}}=-\lambda P(0;t).}$

Пераходзячы цяпер да ліміту ${\displaystyle \delta t\to 0,}$ атрымліваем дыферэнцыяльнае раўнанне

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P(0;t)=-\lambda P(0;t).}$

Развязаць раўнанне можна праінтэграваўшы абедзве часткі:

${\displaystyle P(0;t)=Ce^{-\lambda t}.}$

Імавернасць таго, што ніводнай падзеі не здарыцца за нулявы прамежак часу роўная 1, то бок павінна выконвацца ўмова^[en] ${\displaystyle P(0;0)=1.}$ Падстаўляючы ${\displaystyle t=0}$ у развязанне дыферэнцыяльнага раўнання і карыстаючыся ўмовай, знаходзім ${\displaystyle C=1.}$ Такім чынам, ${\displaystyle P(0;t)=e^{-\lambda t}.}$

Цяпер разгледзім выпадак ${\displaystyle n>0.}$ Існуе два варыянты, пры якіх за інтэрвал ${\displaystyle t+\delta t}$ можа здарыцца ${\displaystyle n}$ падзей:

1. за інтэрвал ${\displaystyle t}$ здарылася ${\displaystyle n}$ падзей, і ніводнай за ${\displaystyle \delta t;}$
2. за інтэрвал ${\displaystyle t}$ здарылася ${\displaystyle n-1}$ падзея, і адна за ${\displaystyle \delta t.}$

Запішам гэта ў выглядзе роўнасці і пераўтворым у дыферэнцыяльнае раўнанне аналагічна папярэдняму выпадку:

${\displaystyle P(n;t+\delta t)=P(n;t)\cdot (1-\lambda \delta t)+P(n-1;t)\cdot \lambda \delta t;}$

${\displaystyle {\frac {P(n;t+\delta t)-P(n;t)}{\delta t}}+\lambda P(n;t)=\lambda P(n-1;t);}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P(n;t)+\lambda P(n;t)=\lambda P(n-1;t).}$

Дамножым абедзве часткі на ${\displaystyle e^{\lambda t}}$ і скарыстаемся правілам здабытку^[en] для вытворных:

${\displaystyle e^{\lambda t}{\frac {d}{dt}}P(n;t)+\lambda e^{\lambda t}P(n;t)=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).}$

${\displaystyle e^{\lambda t}{\frac {d}{dt}}P(n;t)+P(n;t){\frac {d}{dt}}e^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{\lambda t}P(n;t))=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).}$

Выкарыстоўваючы гэтае раўнанне, прыменім метад матэматычнай індукцыі. Дапусцім, ${\displaystyle P(n;t)={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}}$. Справядлівасць гэтага сцверджання ўжо прадэманстравана для ${\displaystyle n=0,}$ што дае нам базу індукцыі.

Для ${\displaystyle n>0:}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{\lambda t}P(n+1;t))=\lambda e^{\lambda t}P(n;t)=\lambda e^{\lambda t}{\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}={\frac {\lambda ^{n+1}t^{n}}{n!}};}$

${\displaystyle e^{\lambda t}P(n+1;t)={\frac {(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!}}+C;}$

${\displaystyle P(n+1;t)={\frac {(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!}}e^{-\lambda t}+Ce^{-\lambda t}.}$

Заўважым, што павінна выконвацца роўнасць ${\displaystyle P(n+1;0)=0,}$ таму ${\displaystyle C=0.}$ Такім чынам, крок індукцыі даказаны, а значыць ${\displaystyle P(n;t)={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}}$ мае месца для ўсіх цэлых ${\displaystyle n\geq 0.}$

Для адзінкі часу ${\displaystyle t=1}$ атрымліваем ${\displaystyle P(n;1)={\frac {(\lambda )^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$ — функцыю імавернасці размеркавання Пуасона^[11].

Матэматычнае спадзяванне размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў паказнікавай функцыі^[1]:118-119:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=e^{-\lambda }\left(0+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\right)=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=}$

${\displaystyle =\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }=\lambda .}$

Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем Пуасона^[1]:119:

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=\lambda e^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}=}$

${\displaystyle =\lambda e^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\lambda e^{\lambda }=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}.}$

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:

${\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=\lambda +\lambda ^{2}-\lambda ^{2}=\lambda .}$

У тэарэтыка-імавернасных мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры n незалежных выпрабаваннях падзеі A₁, ..., A_n назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю p, то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь k падзей прыбліжана выражаецца функцыяй p_k(np) (гл. тэарэма Пуасона). У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

• Пуасона размеркаванне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 13: Праміле — Рэлаксін / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2001. — Т. 13. С. 114—115.