Размах (статыстыка)

У арыфметыцы размах^[1] набору, рада або выбаркі даных вызначаецца як розніца паміж найбольшым і найменшым значэннем,^[2] або як найбольшая розніца паміж максімумам і мінімумам выбаркі.^[3] Ён выражаецца ў тых жа адзінках вымярэння, што і ў арыгінальных даных.

Тым жа часам у апісальнай статыстыцы, канцэпцыя размаху мае больш складанае значэнне. Так, размахам можна назваць найменшы інтэрвал, які ўключае ўсе даныя выбаркі і адзначае статыстычную дысперсію. З-за таго, што размах залежыць толькі ад двух крайніх значэнняў (назіранняў), ён найбольш выкарыстоўваецца для апісання дысперсіі невялікіх набораў даных.

Для ${\displaystyle n}$ непарыўных незалежных і ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$з функцыяй размеркавання ${\displaystyle G(x)}$ і функцыяй шчыльнасці імавернасці ${\displaystyle g(x)}$. У гэтым выпадку выпадковая велічыня ${\displaystyle T_{n}}$ абазначае іх размах, і вызначаецца як рознасць паміж найвялікшым і найменшым значэннем сярод ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$, такім чынам ${\displaystyle T_{n}=max(X_{1},X_{2},...,X_{n})-min(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$.

Размах ${\displaystyle T_{n}}$ мае інтэгральную функцыю размеркавання^[4][5]

${\displaystyle F\{T_{n}\leq t\}=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}{\text{d}}x}$.

Гумбель адзначаў, што «прыгажосць гэтай формулы цалкам псуецца тым фактам, што агулам мы не можам выразіць ${\displaystyle G(x+t)}$ з дапамогай ${\displaystyle G(x)}$ і што лікавае інтэграванне задоўгае і ўтомнае».^[4]

Калі размеркаванне кожнай ${\displaystyle X_{i}}$ абмежаваны справа (або злева), тады асімптатычнае размеркаванне размаху роўна асімптатычнаму размеркаванню найвялікшай (найменшай) велічыні. Для больш агульных размеркаванняў асімптатычнае размеркаванне можа быць выражана як функцыя Беселя.^[4]

Сярэдні размах задаецца формулай^[6]

${\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G}$.

дзе ${\displaystyle x(G)}$ — адваротная функцыя. У выпадку, калі кожная ${\displaystyle X_{i}}$ мае стандартнае нармальнае размеркаванне, сярэдні размах прадстаўляецца як^[7]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x}$.

Для ${\displaystyle n}$ непарыўных незалежных неідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ з функцыямі размеркавання ${\displaystyle G_{1}(x),G_{2}(x),...,G_{n}(x)}$ і функцыямі шчыльнасці імавернасці ${\displaystyle g_{1}(x),g_{2}(x),...,g_{n}(x)}$, размах мае функцыю размеркавання^[5]

${\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[G_{j}(x+t)-G_{j}(x)]\,{\text{d}}x}$.

Для ${\displaystyle n}$ дыскрэтных непарыўных незалежных ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ з функцыяй размеркавання ${\displaystyle G(x)}$ і функцыяй шчыльнасці імавернасці ${\displaystyle g(x)}$ размах ${\displaystyle X_{i}}$ — гэта размах выбаркі памерам ${\displaystyle n}$ з папуляцыі з функцыяй размеркавання ${\displaystyle G(x)}$. Мы можам лічыць без страты агульнасці, што носьбіт кожнай ${\displaystyle X_{i}}$ — гэта ${\displaystyle \{1,2,3,...,N\}}$, дзе ${\displaystyle N}$ — дадатны цэлы лік або бясконцасць.^[8][9]

Размах мае функцыю размеркавання мас^[8][10][11]

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Калі мы лічым, што ${\displaystyle g(x)=1/N}$ — дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне для ўсіх ${\displaystyle x}$, тады мы знойдзем, што^[10][12]

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Размах — гэта спецыфічны прыклад парадкавай статыстыкі. У прыватнасці, размах — гэта лінейная функцыя парадкавай статыстыкі, якая ўносіць яго ў поле L-ацэньвання.

• Матэматычная статыстыка

• A Hald. Statistical Theory with Engineering Applications (англ.). — John Wiley and Sons, Inc.; 1st Edition (January 1, 1952), 1952. — 783 с. — ISBN 978-0471340560.