Сярэдняе арыфметычнае

У матэматыцы і статыстыцы сярэдняе арыфметычнае — адна з найбольш распаўсюджаных мер цэнтральнай тэндэнцыі  (руск.) (бел., якая ўяўляе сабой суму ўсіх значэнняў, якія назіраліся, падзеленую на іх колькасць.

Прапанавана (разам з сярэднім геаметрычным і сярэднім гарманічным  (руск.) (бел.) яшчэ піфагарэйцамі^[1].

Прыватнымі выпадкамі сярэдняга арыфметычнага з'яўляюцца генеральнае сярэдняе (генеральная сукупнасці) і выбарачнае сярэдняе (выбаркі).

Пазначым мноства дадзеных X = (x₁, x₂, …, x_n), тады выбарачнае сярэдняе звычайна пазначаецца гарызантальнай рысай над зменнай (${\displaystyle {\bar {x}}\,}$, вымаўляецца «x з рысай»).

Для абазначэння сярэдняга арыфметычнага ўсёй сукупнасці выкарыстоўваецца грэчаская літара μ. Для выпадковай велічыні, для якой вызначана сярэдняе значэнне, μ ёсць імавернаснае сярэдняе ці матэматычнае чаканне выпадковай велічыні. Калі мноства X з'яўляецца сукупнасцю выпадковых лікаў з імавернасным сярэднім μ, тады для любой выбаркі x_i з гэтай сукупнасці μ = E{x_i} ёсць матэматычнае чаканне гэтай выбаркі.

На практыцы розніца паміж μ і ${\displaystyle {\bar {x}}\,}$ у тым, што μ з'яўляецца тыповай неназіранай зменнай, таму што бачыць мага хутчэй выбарку, а не ўсю генеральную сукупнасць. Таму, калі выбарку прадстаўляць выпадковым чынам (у тэрмінах тэорыі імавернасцей), тады ${\displaystyle {\bar {x}}\,}$ (але не μ) можна трактаваць як выпадковую зменную, якая мае размеркаванне імавернасцей на выбарцы (імавернаснае размеркаванне сярэдняга).

Абедзве гэтыя велічыні вылічаюцца адным і тым жа спосабам:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}).}$

Калі X — выпадковая пераменная, тады матэматычнае чаканне X можна разглядаць як сярэдняе арыфметычнае значэнняў у паўтаральных вымярэннях велічыні X. Гэта з'яўляецца праявай закона вялікіх лікаў. Таму выбарачнае сярэдняе выкарыстоўваецца для ацэнкі невядомага матэматычнага чакання.

У элементарнай алгебры даказана, што сярэдняе n+1 лікаў больш сярэдняга n лікаў тады і толькі тады, калі новы лік больш, чым старое сярэдняе, менш тады і толькі тады, калі новы лік менш за сярэдняе, і не змяняецца тады і толькі тады, калі новы лік роўны сярэдняму. Чым больш n, тым менш адрозненне паміж новым і старым сярэднімі значэннямі.

Заўважым, што маецца некалькі іншых «сярэдніх» значэнняў, у тым ліку сярэдняй ступені, сярэдняе Калмагорава, гарманічнае сярэдняе, арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе і розныя сярэдне-ўзважаныя велічыні.

• Для трох лікаў складзём іх і падзелім на 3 :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.}$

• Для чатырох лікаў складзём іх і падзелім на 4 :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.}$

Для непарыўна размеркаванай велічыні ${\displaystyle f(x)}$ сярэдняе арыфметычнае на адрэзку ${\displaystyle [a;b]}$ вызначаецца праз вызначаны інтэграл:

${\displaystyle {\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx}$

• Сярэдняе гарманічнае
• Сярэдняе геаметрычнае
• Медыяна
• Мода

• Арифметическая средняя // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
• Финансовая математика Архівавана 19 верасня 2020.
• Прикладная математика