Впорядкована група

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Характер групи Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Впорядкована група (також частково впорядкована група) в абстрактній алгебрі група G, на якій задано відношення часткового порядку ${\displaystyle \geqslant }$ таке, що для будь-яких елементів а, b, х, у з G з нерівності ${\displaystyle a\geqslant b}$ випливає ${\displaystyle xay\geqslant xby.}$ В залежності від додаткових властивостей відношення часткового порядку розрізняють такі важливі класи впорядкованих груп:

• Лінійно впорядковані групи, для яких відношення ${\displaystyle \geqslant }$ є відношенням лінійного порядку.
• Ґратково впорядковані групи, для який відношення порядку є ґраткою.
• Спрямовані групи, які задовольняють властивість: ${\displaystyle \forall x,y\in G,}$ існує такий елемент ${\displaystyle z\in G,}$ що виконуються нерівності ${\displaystyle z\geqslant x,z\geqslant y.}$

Множина ${\displaystyle P(G)=\{x\in G|x\geqslant 0\}}$, називається додатним конусом має властивості:

1. ${\displaystyle P(G)\cdot P(G)\subseteq P(G)}$
2. ${\displaystyle P(G)\cap P(G)^{-1}=\{1\}}$
3. ${\displaystyle x^{-1}P(G)x\subseteq P(G)}$

Навпаки, якщо у групі G є множина P, що задовольняє умовам, то G можна перетворити на впорядковану групу взявши, що ${\displaystyle y\geqslant x}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle xy^{-1}\in P.}$ Також при цьому ${\displaystyle P=P(G).}$

Для лінійно впорядкованих груп для додатного конуса додатково справедливим є твердження:

• ${\displaystyle P(G)\cup P(G)^{-1}=G.}$

Для направлених груп крім перших трьох властивостей також виконується:

• ${\displaystyle P(G)\cdot P(G)^{-1}=G.}$

• адитивна група ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ дійсних чисел із звичайним порядком є лінійно впорядкованою групою;
• група ${\displaystyle F(X,\mathbb {R} )}$ функцій визначених на множині X, із значеннями в множині дійсних чисел. На цій множині можна визначити операцію поточкового додавання функцій. Відношення часткового порядку на множині цих функцій можна ввести таким чином: ${\displaystyle f\geqslant g}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle f(x)\geqslant g(x),\,\forall x\in X.}$
• група ${\displaystyle A(M)}$ усіх автоморфізмів лінійно упорядковано] множини M себе є впорядкованою групою, якщо за групову операцію взяти суперпозицію відображень, відношення порядку визначити: ${\displaystyle \phi \geqslant \psi ,}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \phi (m)\geqslant \psi (m),\,\forall m\in M.}$

Якщо H підгрупа групи впорядкованої групи G, то H теж буде підгрупою відносно індукованого відношення часткового порядку. Ця підгрупа називається випуклою, якщо для будь-яких елементів ${\displaystyle x,y,z\in G,}$ для яких ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ і ${\displaystyle x,z\in H,}$ також і ${\displaystyle y\in H.}$

Гомоморфізм ${\displaystyle \phi :G\to H,}$ що зберігає порядок у групах називається порядковим гомоморфізмом. Гомоморфізм ${\displaystyle \phi :G\to H,}$ є порядковим тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle \phi (P(G))\subseteq P(H).}$

Ядром порядкового гомоморфізму впорядкованої групи завжди є випукла нормальна підгрупа.

• Частково впорядкована множина

• Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972
• Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
• Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.