辛普森積分法

基础概念（含极限论和级数论）

實數性質
函数单调性初等函数數列极限实数的构造 1=0.999… 无穷銜尾蛇無窮小量 ε-δ語言实无穷（英语：Actual infinity）大O符号最小上界收敛数列芝诺悖论柯西序列单调收敛定理夹挤定理波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理斯托尔兹-切萨罗定理上极限和下极限函數極限渐近线邻域连续連續函數不连续点狄利克雷函数稠密集一致连续紧集海涅-博雷尔定理支撑集欧几里得空间点积叉积三重积拉格朗日恒等式等价范数坐標系凸集巴拿赫不动点定理级数收敛级数几何级数调和级数項測試格兰迪级数收敛半径审敛法柯西乘积黎曼级数重排定理函数项级数（英语：function series）一致收斂迪尼定理
數列與級數
連續
函數

一元积分

定义
积分表
不定积分定积分黎曼积分达布积分勒贝格积分积分的线性
求积分的技巧换元积分法三角换元法分部积分法部分分式积分法降次积分法微元法积分第一中值定理积分第二中值定理微积分基本定理反常積分柯西主值積分函數 Β函数 Γ函数古德曼函数椭圆积分數值積分矩形法梯形公式辛普森積分法牛顿-寇次公式积分判别法傅里叶级数狄利克雷定理周期延拓魏尔施特拉斯逼近定理帕塞瓦尔定理刘维尔定理

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辛普森法則（英語：Simpson's rule）是一種數值積分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。其近似值如下：

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]

該方法由英國數學家托馬斯·辛普森（英语：Thomas Simpson）所創立。

簡化公式

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}$

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h\cdot 6a}{6}}=ha$ (棱柱和圆柱的体积=底面积*高)

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+{\frac {4a}{4}}+0)}{6}}={\frac {ah}{3}}$

(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {\pi h(R^{2}+Rr+r^{2})}{3}}$

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {2R(0+4\pi R^{2}+0)}{6}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}$

公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形……

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}=ah$

(平行四边形的面积等于底乘高)

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+c)}{2}}$

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {ah}{2}}$

查论编數值積分
牛頓-寇次公式	梯形公式辛普森積分法 Simpson's 3/8 rule Adaptive Simpson's method Boole's rule Romberg's method
高斯求积	Gauss–Hermite quadrature Gauss–Jacobi quadrature Gauss–Kronrod quadrature formula Gauss–Laguerre quadrature Gauss–Legendre quadrature Chebyshev–Gauss quadrature
其他	Barnes–Hut simulation Bayesian quadrature Clenshaw–Curtis quadrature Filon quadrature Lebedev quadrature Tanh-sinh quadrature