Аляксандр Дэспла нарадзіўся 23 жніўня1961 года. Яго бацька-француз і маці-грачанка пазнаёміліся, калі разам вучыліся ў Каліфарнійскім універсітэце ў Берклі.[6] Неўзабаве пасля вяселля маладыя пераехалі ў Францыю, дзе і з’явіўся на свет Аляксандр. У Аляксандра ёсць дзве старэйшыя сястры: Мары-Крысцін (Кікі) Дэспла і Разалінда Дэспла.
Ужо ва ўзросце пяці год Аляксандр навучыўся іграць на фартэпіяна[7], а неўзабаве асвоіў трубу і флейту. Музыка стала неад’емнай часткай жыцця Аляксандра з ранняга дзяцінства, і гэта падштурхнула яго да выбару музычнай кар’еры. Вучоба ў Францыі, а затым у ЗША паспрыяла станаўленню яго музычнага густу. Інтарэсы Дэспла ахоплівалі вялікі абсяг музычных жанраў, ад французскай класікі пачатку XX стагоддзя, у прыватнасці музыка Равэля і Дэбюсі, да сучаснага джаза і паўночнаамерыканскай і афрыканскай музыкі.[8] Дэспла імкнуўся не выпускаць з віду ніводнай падзеі ў свеце музыкі, пастаянна ўдасканальваючы ўласны стыль і манеру выканання.
Дэбют Аляксандра Дэспла як кінакампазітара адбыўся ў 1986 годзе, калі яму прапанавалі заняцца музычным афармленнем французская кінастужкі «Ki lo sa?». Паспяхова дэбютаваўшы, Дэспла працягнуў пісаць музыку да фільмаў у Францыі. Вялікі прарыў у кар’еры Аляксандра Дэспла адбыўся ў 2003 годзе, калі ён напісаў музыку для фільма «Дзяўчына з жамчужнай завушніцай».[8][9]
Дэспла не абмяжоўваецца стварэннем інструментальных кампазіцый для кіно. Ён таксама піша песні, музыку для тэатральных пастановак. Яго найлепшыя сімфоніі можна пачуць у выкананні Лонданскага сімфанічнага аркестра, Каралеўскай філармоніі, Мюнхенскага сімфанічнага аркестра. Апроч напісання і выканання музыкі, Дэспла займаецца выкладаннем. У свой час ён праводзіў майстар-класы ў Парыжскім універсітэце і ў Каралеўскім музычным коледжы ў Лондане. Яго майстар-класы адбываліся і ў межах значных міжнародных кінафестываляў. Так 19 мая2012 года ён правёў майстар-клас на тэму «Асабістая гісторыя музыкі да фільма» на 65-ым Канскім кінафестывалі.[10]
На сённяшні дзень Аляксандр Дэспла лічыцца адным з самых запатрабаваных кінакампазітараў свету.