Гіпоциклоїда

Гіпоцикло́їда (від грец. ὑπό — під, внизу і грец. κύκλος — круг, коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.^{[1] :стор.806}

Якщо радіус ${\displaystyle r}$ рухомого кола більший за радіус ${\displaystyle R}$ нерухомого кола, то в цьому випадку гіпоциклоїду називають перициклоїдою. Будь-яка перициклоїда з параметрами ${\displaystyle (R,r)}$ еквівалентна епіциклоїді з параметрами ${\displaystyle (R,r-R)}$. ^{[1] :стор.811; 816}

Початковою точкою гіпоциклоїди називають таку її точку ${\displaystyle P}$, що лежить на прямій, яка проходить через центр ${\displaystyle C}$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від ${\displaystyle C}$, що і точка опори.^{[1] :стор.805}

Початкові точки є каспами (простими точками звороту) гіпоциклоїди. Початкові точки гіпоциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною гіпоциклоїди називають таку її точку ${\displaystyle V}$, що лежить на прямій, яка проходить через центр ${\displaystyle C}$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від ${\displaystyle C}$.^{[1] :стор.806}

Будь-яка гіпоциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Гіпоциклоїда є окремим випадком гіпотрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Окремими випадками гіпоциклоїди є дельтоїда (гіпоциклоїда з трьома каспами) та астроїда (гіпоциклоїда з чотирма каспами).

Граничні випадки гіпоциклоїди:

• Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченности (${\displaystyle R\to \infty }$), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола.^{[1] :стор.814}
• Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности (${\displaystyle r\to \infty }$), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює ${\displaystyle R}$, а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює ${\displaystyle r}$, то гіпоциклоїда описується параметричними рівняннями відносно ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi +r\cos({\frac {R-r}{r}}\varphi )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R-r}{r}}\varphi )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&0\leq \varphi \leq 2r\cdot \pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&0\leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}}$

При цьому початкова точка гіпоциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі ${\displaystyle Ox}$.

Кут ${\displaystyle \varphi }$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі ${\displaystyle Ox}$.

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат гіпоциклоїди має вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi +r\cos({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2\pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2r\cdot \pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}}$

При цьому гіпоциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут ${\displaystyle \beta ={\frac {r}{R}}\cdot \alpha }$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпоциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю ${\displaystyle Ox}$ дорівнює ${\displaystyle {\frac {r}{R}}\cdot \alpha }$.

Ввівши величину ${\displaystyle \textstyle k={\frac {R}{r}}}$, отримаємо параметричне рівняння звичайної (неповернутої) гіпоциклоїди у вигляді:

${\displaystyle {\begin{cases}&x(\varphi )=r\cdot \left((k-1)\cos \varphi +\cos \left((k-1)\varphi \right)\right)\\&y(\varphi )=r\cdot \left((k-1)\sin \varphi -\sin \left((k-1)\varphi \right)\right).\end{cases}}}$

де ${\displaystyle R}$ — радіус нерухомого кола, ${\displaystyle r}$ — радіус кола, що котиться. Величина ${\displaystyle k}$ визначає форму гіпоциклоїди (див. нижче). При ${\displaystyle k=2}$ гіпоциклоїда є діаметром нерухомого кола, при ${\displaystyle k=4}$ є Астроїдою.

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:^[2]

${\displaystyle z(\varphi )=r\cdot \left((k-1)e^{i\varphi }+e^{-i(k-1)\varphi }\right)}$ .

де

• кут ${\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ]}$ ;
• радіус твірного (рухомого) кола ${\displaystyle r}$;
• радіус напрямного (нерухомого) кола ${\displaystyle R=kr}$.

Рівняння Чезаро^[en] для гіпоциклоїди має вигляд:^{[1] :стор.819}

${\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(\ell -b)^{2}}{b^{2}}}=1}$

де
${\displaystyle a={\frac {4r\cdot (R-r)}{R-2r}}}$ , ${\displaystyle b={\frac {4r\cdot (R-r)}{R}}}$
${\displaystyle \rho }$ — радіус кривини гіпоциклоїди в певній точці;
${\displaystyle \ell }$ — довжина дуги гіпоциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість гіпоциклоїди:

Якщо дуга гіпоциклоїди котиться без ковзання по прямій ${\displaystyle AB}$, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої ${\displaystyle AB}$, через яку прокочується вершина гіпоциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою ${\displaystyle AB}$ і по довжині дорівнює половині арки гіпоциклоїди, а саме: ${\displaystyle \left|{\frac {4r\cdot (R-r)}{R}}\right|}$.

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: ${\displaystyle \left|{\frac {4r\cdot (R-r)}{R-2r}}\right|}$.^{[1] :стор.819}

• Будь-яка гіпоциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами ${\displaystyle |R-2r|}$ та ${\displaystyle R}$.
  

На першому з них лежать вершини, а на другому — каспи гіпоциклоїди.

• При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) ${\displaystyle O}$ на кут, кратний ${\displaystyle 2\pi \cdot {\frac {r}{R}}}$, гіпоциклоїда суміщається сама з собою.^{[1] :стор.812}
• Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}}$ — натуральне число, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою ${\displaystyle 2(k-1)}$ порядку;
  

Крива складається з ${\displaystyle k}$ конгруентних арок, а отже, має ${\displaystyle k}$ вершин та каспів (тобто точок звороту).
Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (k - 1) повних обертів навколо свого центру.

• Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою ${\displaystyle 2\cdot |p-q|}$ порядку;
  

Крива складається з ${\displaystyle p}$ конгруентних арок, а отже, має ${\displaystyle p}$ вершин та каспів.
Крива має ${\displaystyle p\cdot (q-1)}$ точок самоперетину, якщо ${\displaystyle q<{\frac {p}{2}}}$ та p i q — взаємопрості числа.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить p - q повних обертів навколо свого центру.

• Якщо ${\displaystyle k}$ — ірраціональне число, то гіпоциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
• Гіпоциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
• Будь-яка гіпоциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle r}$ за формою тотожна з гіпоциклоїдою з радіусами нерухомого та рухомого кіл ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle R-r}$.^{[1] :стор.815}
  

Відмінність полягає у розмірі твірного кола, а отже і верхньому значенні параметра ${\displaystyle \varphi }$, при якому крива замикається.

• Властивість нормалі та дотичної
  

Нормаль, що проведена через будь-яку точку ${\displaystyle M}$ гіпоциклоїди, проходить через відповідну точку дотику ${\displaystyle E}$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до гіпоциклоїди в деякій її точці ${\displaystyle M}$, проходить через точку ${\displaystyle E'}$ напрямного кола, діаметрально протилежну до точки ${\displaystyle E}$.^{[1] :стор.817}

• Довжина дуги гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$: ^{[1] :стор.818}

${\displaystyle \ell ={\frac {8r\cdot (R-0r)}{R}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {R}{4r}}\cdot \varphi _{1}\right).}$

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки гіпоциклоїди дорівнює:

${\displaystyle \ell =8r\cdot \left(1-{\frac {r}{R}}\right)}$

Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}}$ — натуральне число, то довжина ${\displaystyle \ell }$ однієї арки:

${\displaystyle \ell =8r\cdot \left({\frac {k-1}{k}}\right)}$

а довжина всієї гіпоциклоїди:

${\displaystyle \ell =8(k-1)\cdot r=8{\frac {k-1}{k}}\cdot R}$

• Площа сектора гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$: ^{[1] :стор.820}

${\displaystyle S={\frac {(R-r)(R-2r)}{2}}\cdot \left(\varphi _{1}-{\frac {r}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi _{1}\right)\right).}$

Площа сектора, що описується полярним радіусом ${\displaystyle OM}$ гіпоциклоїди, коли точка ${\displaystyle M}$ пробігає одну її арку: ^{[1] :стор.820}

${\displaystyle S_{1}={\frac {\pi \cdot r(R-r)(R-2r)}{R}}}$

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: ${\displaystyle S_{2}=\pi \cdot r\cdot R}$.

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою гіпоциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

${\displaystyle S=|S_{1}-S_{2}|=\pi r^{2}\cdot |3-2{\frac {r}{R}}|}$

Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}}$ — натуральне число, то площа ${\displaystyle S}$ сектора, що відповідає одній арці гіпоциклоїди, дорівнює

${\displaystyle S={\frac {(k-1)(k-2)}{k}}\cdot \pi r^{2}}$

а фігури, що обмежена повною гіпоциклоїдою:

${\displaystyle S=(k-1)(k-2)\cdot \pi r^{2}={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\cdot \pi R^{2}}$

Це означає, що фігура, обмежена гіпоциклоїдою в ${\displaystyle \left(1-{\frac {r}{R}}\right)\left(1-2{\frac {r}{R}}\right)}$ разів менша за площею, від площі напрямного круга.

• Радіус кривини будь-якої гіпоциклоїди в деякій її точці ${\displaystyle M}$, що відповідає куту ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \rho ={\frac {4r\cdot |R-r|}{|R-2r|}}\cdot \sin \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right).}$

Цю формулу можна записати у вигляді:^{[1] :стор.817}

${\displaystyle \rho =2\cdot ME\cdot \left|{\frac {R-r}{R-2r}}\right|}$

де ${\displaystyle ME}$ — відрізок, що сполучає точку ${\displaystyle M}$ гіпоциклоїди і точку опори ${\displaystyle E}$ твірного кола.

В точках звороту гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює ${\displaystyle \rho =0,}$
В вершинах гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює ${\displaystyle \rho ={\frac {4r\cdot |R-r|}{|R-2r|}}.}$

• Гіпоциклоїда та її еволюта подібні.^[3]

Відношення подібності складає^{[1] :стор.818} ${\displaystyle R:(R-2r).}$ Еволюта має той же центр, що і початкова гіпоциклоїда. Каспи еволюти збігаються з вершинами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану гіпоциклоїду на кут ${\displaystyle \pi \cdot {\frac {r}{R}}}$, а потім відповідно маштабувавши її.

• 
  k=3 — Дельтоїда
• 
  k=4 — Астроїда
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2,1
• 
  k=3,8
• 
  k=5,5
• 
  k=7,2

• Рулета
• Циклоїда
• Епіциклоїда
• Гіпотрохоїда
• Список періодичних функцій

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.
• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Гіпоциклоїда

• Weisstein, Eric W. Hypocycloid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Hypocycloid, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Hypocycloid в архіві MacTutor (англ.)
• Гіпоциклоїда на Javascript
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids