Чотирипелюсткова троянда

Чотирипелюсткова троянда (також правильний чотирилисник або квадрифолій^[1], чотирилисник конюшини^[2]) — плоска алгебрична крива 6-го порядку, троянда з чотирма пелюстками.

Є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння
В полярній системі координат	${\displaystyle \rho =a\cdot \cos 2\varphi \,,\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi }$ .		${\displaystyle \rho =a\cdot \sin 2\varphi \,,\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi }$ .
В декартовій системі координат в неявному виді	${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}\cdot (x^{2}-y^{2})^{2}}$ .		${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}}$ .
В декартовій стстемі координат в параметричному виді	${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \cos 2t\\y(t)=a\cdot \sin t\cdot \cos 2t\end{cases}}\,,\quad 0\leq t\leq 2\pi }$ .		${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \sin 2t\\y(t)=a\cdot \sin t\cdot \sin 2t\end{cases}}\,,\quad 0\leq t\leq 2\pi }$ ; Також: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=2a\cdot \cos t\cdot \sin ^{2}t\\y(t)=2a\cdot \sin t\cdot \cos ^{2}t\end{cases}}\quad 0\leq t\leq 2\pi }$
	Початок координат (полюс) ${\displaystyle O(0,0)}$ — чотирикратна вузлова точка; Вершини пелюсток знаходяться на осях координат.		Початок координат (полюс) ${\displaystyle O(0,0)}$ — чотирикратна вузлова точка; Вершини пелюсток знаходяться на прямих ${\displaystyle y=\pm x}$ (на прямих ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$ та ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}}$).

У будь-якій формі це плоска алгебрична крива роду нуль.

Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді:

• Довжина дуги (периметр) троянди: ^{[1] [3]}

${\displaystyle \ell =8a\cdot \mathrm {E} \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=8a\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {3}{4}}\cdot \sin ^{2}t}}\,dt\,\approx 9.68844822...\cdot a.}$

де ${\displaystyle \mathrm {E} (k)}$ — повний еліптичний інтеграл другого роду.
Послідовність  A138500 в ОЕIS.

Довжина довільної дуги чотирипелюсткової троянди, що відповідає параметру t: ^[3]

${\displaystyle \ell (t)=a\cdot \mathrm {E} \left(2t,{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)}$

де ${\displaystyle \mathrm {E} (x,k)}$ — неповний еліптичний інтеграл другого роду.

• Площа области, що обмежена чотирипелюстковою трояндою:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}a^{2}\cdot \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}(2\varphi )d\varphi =8\cdot {\frac {1}{2}}\cdot a^{2}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\sin ^{2}(2\varphi )d\varphi ={\frac {\pi a^{2}}{2}}}$

Ця площа дорівнює половині площі описаного навколо троянди круга.

Площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює π·a²/8.

• Кривина чотирипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру t : ^[3]

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {{\sqrt {2}}\cdot (13+3\cos(4t))}{a\cdot (5+3\cos(4t))^{\tfrac {3}{2}}}}}$.

• Вся крива розташовується всередині кола радіуса ${\displaystyle a}$ і сладається з чотирьох однакових за формою та розміром пелюсток. Вершини пелюсток є вершинами квадрата.
• Чотирипелюсткова троянда є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку роду 0.^[4]
• Крива має 4 осі симетрії, дві з яких проходять через протилежні вершини пелюсток. Зокрема, рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:

${\displaystyle x=0\,,\quad y=0\,,\quad {\text{та}}\quad y=\pm x}$

Полюс кривої (початок координат) ${\displaystyle O(0,0)}$ є центром симетрії кривої.
Прямі ${\displaystyle y=\pm x}$ є дотичними у вузловій точці троянди (для косинус-варіанта кривої).

• Чотирипелюсткова троянда ${\displaystyle \quad \rho =a\cdot \cos 2\varphi }$ є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює ${\displaystyle R={\frac {2a}{3}}}$, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює ${\displaystyle r={\frac {a}{6}}}$, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює ${\displaystyle h={\frac {a}{2}}}$. ^{[1] [5]:стор.235}

Чотирипелюсткова троянда є епітрохоїдою при ${\displaystyle R=4r}$ та ${\displaystyle h=R+r={\frac {5}{4}}\cdot R}$. ^{[6]:стор.166}

• 

  Чотирипелюсткова троянда є подерою астроїди відносно її центра. ^{[6]:стор.166}

Для астроїди

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=R\cdot \cos ^{3}{\frac {t}{3}}\\y(t)=R\cdot \sin ^{3}{\frac {t}{3}}\end{cases}}}$,

де ${\displaystyle t}$ — кут повороту твірного (рухомого) кола;
${\displaystyle R}$ — радіус напрямного (нерухомого) кола.
рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:

${\displaystyle \rho ={\frac {R}{2}}\cdot \sin 2\varphi }$

або

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=R^{2}\cdot x^{2}y^{2}}$

Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в астроїду. Вершини троянди збігаються з вершинами астроїди.^{[1] [6]:стор.133; 166}

• Чотирипелюсткова троянда є геометричним місцем підстав перпендикулярів, що проведені від початку координат до відрізку сталої довжини, кінці якогo ковзають по координатним осям.^{[6]:стор.166}
• Чотирипелюсткова троянда є геометричним місцем вершин прямих кутів, сторони яких дотикаються до астроїди. ^{[6]:стор.166}
• Чотирипелюсткова троянда є результатом інверсії відносно початку координат хрестоподібної кривої, що має рівняння

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{x^{2}}}+{\frac {a^{2}}{y^{2}}}=1}$

або

${\displaystyle \rho ={\frac {2a}{\sin 2\varphi }}=1}$

Дуальною до чотирипелюсткової троянди є крива з рівнянням в декартовій системі координат:

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2}=16(x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+y^{2}).\,}$

• Нехай два рівних відрізка ${\displaystyle OA}$ та ${\displaystyle AM}$ довжиною ${\displaystyle a}$ обертаються навколо точок ${\displaystyle O}$ та ${\displaystyle A}$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\displaystyle {\frac {\omega _{OA}}{\omega _{AM}}}=2}$.
  Тоді траєкторією точки ${\displaystyle M}$ буде чотирипелюсткова троянда.
• Нехай два радіуси ${\displaystyle OA}$ та ${\displaystyle OB}$ деякого кола обертаються навколо точки ${\displaystyle O}$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\displaystyle {\frac {\omega _{OA}}{\omega _{OB}}}=2}$.
  Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle OB}$ є чотирипелюсткова троянда.^{[6]:стор.165}

• Троянда (плоска крива)
• Трипелюсткова троянда

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 175. ISBN 0-486-60288-5.
• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.
• Loria, Gino. Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi // Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — С. 297— 306. — ISBN 5-7036-0027-8.

• Weisstein, Eric W. Quadrifolium(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ferréol Robert , QUATREFOIL CURVE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com.
• Quadrifolium на сайті people.math.carleton.ca
• Аплет для створення троянд з параметром k

• Інтерактивний приклад із JSXGraph