Епіциклоїда

Епіцикло́їда (від грец. ὲπί — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по зовнішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.^{[1] :стор.806}

Початковою точкою епіциклоїди називається така її точка ${\displaystyle P}$, що лежить на прямій, яка проходить через центр ${\displaystyle C}$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від ${\displaystyle C}$, що і точка опори.^{[1] :стор.805} Початкові точки є каспами (простими точками звороту) епіциклоїди. Початкові точки епіциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною епіциклоїди називається така її точка ${\displaystyle V}$, що лежить на прямій, яка проходить через центр ${\displaystyle C}$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від ${\displaystyle C}$.^{[1] :стор.806}

Будь-яка епіциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Епіциклоїда є окремим випадком епітрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює ${\displaystyle R}$, а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює ${\displaystyle r}$, то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=(R+r)\cos \varphi -r\cos({\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y(\varphi )=(R+r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&0\leq \varphi \leq 2r\cdot \pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&0\leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}}$

При цьому початкова точка епіциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі ${\displaystyle Ox}$.

Кут ${\displaystyle \varphi }$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі ${\displaystyle Ox}$.

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат епіциклоїди має вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=(R+r)\cos \varphi -r\cos({\frac {R+r}{r}}\varphi -\alpha )\\y(\varphi )=(R+r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R+r}{r}}\varphi -\alpha )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2\pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2r\cdot \pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}}$

При цьому епіциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут ${\displaystyle \beta ={\frac {r}{R}}\cdot \alpha }$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку епіциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю ${\displaystyle Ox}$ дорівнює ${\displaystyle {\frac {r}{R}}\cdot \alpha }$.

Можна ввести величину ${\displaystyle \textstyle k={\frac {R}{r}}}$, тоді параметричні рівняння звичайної (неповернутої) епіциклоїди приймуть вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}&x(\varphi )=r\cdot \left((k+1)\cos \varphi -\cos \left((k+1)\varphi \right)\right)\\&y(\varphi )=r\cdot \left((k+1)\sin \varphi -\sin \left((k+1)\varphi \right)\right).\end{cases}}}$

Величина ${\displaystyle k}$ визначає форму епіциклоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі: ^[2]

${\displaystyle z(\varphi )=r\cdot \left((k+1)e^{i\varphi }-e^{i(k+1)\varphi }\right)}$

де

• кут ${\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ]}$ ;
• радіус твірного (рухомого) кола ${\displaystyle r}$;
• радіус напрямного (нерухомого) кола ${\displaystyle R=kr}$.

Рівняння Чезаро^[en] для епіциклоїди має вигляд:^{[1] :стор.819}

${\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(\ell -b)^{2}}{b^{2}}}=1}$

де
${\displaystyle a={\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}}$ , ${\displaystyle b={\frac {4r\cdot (R+r)}{R}}}$
${\displaystyle \rho }$ — радіус кривини епіциклоїди в певній точці;
${\displaystyle \ell }$ — довжина дуги епіциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість епіциклоїди:
Якщо дуга епіциклоїди котиться без ковзання по прямій ${\displaystyle AB}$, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої ${\displaystyle AB}$, через яку прокочується вершина епіциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою ${\displaystyle AB}$ і по довжині дорівнює половині арки епіциклоїди, а саме: ${\displaystyle {\frac {4r\cdot (R+r)}{R}}}$. Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: ${\displaystyle {\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}}$.^{[1] :стор.819}

• Будь-яка епіциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle R+2r}$.
  

На першому з них лежать каспи, а на другому — вершини епіциклоїди.

• При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) ${\displaystyle O}$ на кут, кратний ${\displaystyle 2\pi \cdot {\frac {r}{R}}}$, епіциклоїда суміщається сама з собою.^{[1] :стор.812}
• Якщо ${\displaystyle k}$ — натуральне число, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою ${\displaystyle 2(k+1)}$ порядку;
  

Крива складається з ${\displaystyle k}$ конгруентних арок, а отже, має ${\displaystyle k}$ вершин та каспів (тобто точок зворотів).
Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (k + 1) повних обертів навколо свого центру.

• Якщо ${\displaystyle k={\frac {p}{q}}}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дроба, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою ${\displaystyle 2\cdot |p+q|}$ порядку;
  

Крива складається з ${\displaystyle p}$ конгруентних арок, а отже, має ${\displaystyle p}$ вершин та каспів.
Крива має ${\displaystyle p\cdot (q-1)}$ точок самоперетину.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (p + q) повних обертів навколо свого центру.

• Якщо ${\displaystyle k}$ — ірраціональне число, то епіциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
• Епіциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
• Будь-яка епіциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle r}$ тотожна з гіпоциклоїдою (точніше гіпоциклоїдою, що належить до типу перициклоїд) з радіусами нерухомого та рухомого кіл ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle R+r}$.^{[1] :стор.816}
• Властивість нормалі та дотичної
  

Нормаль, що проведена через будь-яку точку ${\displaystyle M}$ епіциклоїди, проходить через відповідну точку дотику ${\displaystyle E}$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до епіциклоїди в деякій її точці ${\displaystyle M}$, проходить через точку ${\displaystyle E'}$ напрямного кола, діаметрально протилежну до точки ${\displaystyle E}$.^{[1] :стор.817}

• Довжина дуги епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$: ^{[1] :стор.818}

${\displaystyle \ell ={\frac {8r\cdot (R+r)}{R}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {R}{4r}}\cdot \varphi _{1}\right).}$

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки епіциклоїди дорівнює:

${\displaystyle \ell =8r\cdot \left(1+{\frac {r}{R}}\right)}$

Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}}$ — натуральне число, то довжина ${\displaystyle \ell }$ всієї епіциклоїди:

${\displaystyle \ell =8(k+1)\cdot r}$

• Площа сектора епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$: ^{[1] :стор.820}

${\displaystyle S={\frac {(R+r)(R+2r)}{2}}\cdot \left(\varphi _{1}-{\frac {r}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi _{1}\right)\right).}$

Площа сектора, що описується полярним радіусом ${\displaystyle OM}$ епіциклоїди, коли точка ${\displaystyle M}$ пробігає одну її арку: ^{[1] :стор.820}

${\displaystyle S_{1}={\frac {\pi \cdot r(R+r)(R+2r)}{R}}}$

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: ${\displaystyle S_{2}=\pi \cdot r\cdot R}$.

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою епіциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

${\displaystyle S=|S_{1}-S_{2}|=\pi r^{2}\cdot |3+2{\frac {r}{R}}|}$

Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}}$ — натуральне число, то площа ${\displaystyle S}$ фігури, що обмежена повною епіциклоїдою:

${\displaystyle S=(k+1)(k+2)\cdot \pi r^{2}=\pi \cdot (R+r)(R+2r)}$

Це означає, що фігура, обмежена епіциклоїдою в ${\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}}$ разів більша за площею, від площі напрямного круга.

• Радіус кривини будь-якої епіциклоїди в деякій її точці ${\displaystyle M}$, що відповідає полярному куту ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \rho ={\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}\cdot \sin \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right),}$

Цю формулу можна записати у вигляді:^{[1] :стор.817}

${\displaystyle \rho =2\cdot ME\cdot {\frac {R+r}{R+2r}},}$

де ${\displaystyle ME}$ — відрізок, що сполучає точку ${\displaystyle M}$ епіциклоїди і точку опори ${\displaystyle E}$ твірного кола.

В точках звороту епіциклоїди радіус кривини дорівнює ${\displaystyle \rho =0,}$
В вершинах епіциклоїди радіус кривини дорівнює ${\displaystyle \rho ={\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}.}$

• Епіциклоїда та її еволюта подібні.^[3]

Відношення подібності складає^{[1] :стор.818} ${\displaystyle R:(R+2r).}$ Еволюта має той же центр, що і початкова епіциклоїда. Вершини еволюти збігаються з каспами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану епіциклоїду на кут ${\displaystyle \pi \cdot {\frac {r}{R}}}$, а потім відповідно маштабувавши її.

• Епіциклоїда при різних значеннях параметра k:
• 
  k = 1; (кардіоїда)
• 
  k = 2; (нефроїда)
• 
  k = 3;
• 
  k = 4;
• 
  k = 2.1 = 21/10
• 
  k = 3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k = 7.2 = 36/5

Окремим випадком епіциклоїди є кардіоїда (епіциклоїда з одним каспом) та нефроїда (епіциклоїда з двома каспами).

Граничні випадки епіциклоїди:

• Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності (${\displaystyle R\to \infty }$), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола.^{[1] :стор.814}
• Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности (${\displaystyle r\to \infty }$), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

• Рулета
• Список періодичних функцій

• Епіциклоїда // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Теза, 2006.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 161, 168—170, 175. ISBN 978-0-486-60288-2.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Weisstein, Eric W. Епіциклоїда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Epicycloid [Архівовано 24 листопада 2010 у Wayback Machine.], MathWorld
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Epicycloid в архіві MacTutor (англ.)
• Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Епіциклоїда на сайті Mathcurve , 2017
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth