r
=
a
⋅
cos
3
φ
{\displaystyle r=a\cdot \cos 3\varphi }
r
=
a
⋅
sin
3
φ
{\displaystyle r=a\cdot \sin 3\varphi }
Трипелюсткова троянда (також правильний трилисник :стор.304 трифолій ) — плоска алгебрична крива четвертого порядку, троянда з трьома пелюстками.
Крива вивчалася Лоншамом в 1885 р. та А.Брокаром в 1887 р.[ 2]
Є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей , а також епі- та гіпотрохоїд .
Рівняння
В полярній системі координат
ρ
=
a
⋅
cos
3
φ
,
0
≤
φ
≤
π
{\displaystyle \rho =a\cdot \cos 3\varphi \,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }
ρ
=
a
⋅
cos
φ
⋅
(
1
−
4
sin
2
φ
)
,
0
≤
φ
≤
π
{\displaystyle \rho =a\cdot \cos \varphi \cdot (1-4\sin ^{2}\varphi )\,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }
ρ
=
a
⋅
sin
3
φ
,
0
≤
φ
≤
π
{\displaystyle \rho =a\cdot \sin 3\varphi \,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }
ρ
=
a
⋅
sin
φ
⋅
(
4
cos
2
φ
−
1
)
,
0
≤
φ
≤
π
{\displaystyle \rho =a\cdot \sin \varphi \cdot (4\cos ^{2}\varphi -1)\,,\quad 0\leq \varphi \leq \pi }
В декартовій системі координат в неявному виді
(
x
2
+
y
2
)
2
=
a
⋅
(
x
3
−
3
x
y
2
)
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a\cdot (x^{3}-3xy^{2})}
(
x
2
+
y
2
)
⋅
(
x
2
−
a
x
+
y
2
)
=
−
4
a
x
y
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})\cdot (x^{2}-ax+y^{2})=-4axy^{2}}
(
x
2
+
y
2
)
2
=
a
⋅
(
3
x
2
y
−
y
3
)
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\cdot \left(3x^{2}y-y^{3}\right)}
В декартовій стстемі координат в параметричному виді
{
x
(
t
)
=
a
⋅
cos
t
⋅
cos
3
t
y
(
t
)
=
a
⋅
sin
t
⋅
cos
3
t
,
0
≤
t
≤
π
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \cos 3t\\y(t)=a\cdot \sin t\cdot \cos 3t\end{cases}}\,,\quad 0\leq t\leq \pi }
{
x
(
t
)
=
a
2
⋅
(
sin
t
−
cos
2
t
)
y
(
t
)
=
a
2
⋅
(
cos
t
−
sin
2
t
)
,
−
π
2
≤
t
≤
3
π
2
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)={\frac {a}{2}}\cdot (\sin t-\cos 2t)\\y(t)={\frac {a}{2}}\cdot (\cos t-\sin 2t)\end{cases}}\,,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq t\leq {\frac {3\pi }{2}}}
{
x
(
t
)
=
−
a
⋅
(
3
t
2
−
1
)
(
t
2
+
1
)
2
y
(
t
)
=
a
t
⋅
(
3
t
2
−
1
)
(
t
2
+
1
)
2
,
−
∞
<
t
<
+
∞
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)=-{\frac {a\cdot (3t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}\\y(t)={\frac {at\cdot (3t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}\end{cases}}\,,\quad -\infty <t<+\infty }
{
x
(
t
)
=
a
⋅
cos
t
⋅
sin
3
t
y
(
t
)
=
a
⋅
sin
t
⋅
sin
3
t
,
0
≤
t
≤
π
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \sin 3t\\y(t)=a\cdot \sin t\cdot \sin 3t\end{cases}}\,,\quad 0\leq t\leq \pi }
{
x
(
t
)
=
a
2
⋅
(
cos
t
+
sin
2
t
)
y
(
t
)
=
a
2
⋅
(
sin
t
+
cos
2
t
)
,
−
π
2
≤
t
≤
3
π
2
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)={\frac {a}{2}}\cdot (\cos t+\sin 2t)\\y(t)={\frac {a}{2}}\cdot (\sin t+\cos 2t)\end{cases}}\,,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq t\leq {\frac {3\pi }{2}}}
Початок координат (полюс)
O
(
0
,
0
)
{\displaystyle O(0,0)}
O
x
{\displaystyle Ox}
Початок координат (полюс)
O
(
0
,
0
)
{\displaystyle O(0,0)}
O
y
{\displaystyle Oy}
φ
=
π
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}
Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді:
ℓ
=
2
a
⋅
E
(
2
2
⋅
i
)
=
6
a
⋅
∫
0
π
2
1
−
8
9
⋅
sin
2
t
d
t
≈
6.6824466...
⋅
a
.
{\displaystyle \ell =2a\cdot \mathrm {E} \left(2{\sqrt {2}}\cdot i\right)=6a\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {8}{9}}\cdot \sin ^{2}t}}\,dt\,\approx 6.6824466...\cdot a.}
де
E
(
k
)
{\displaystyle \mathrm {E} (k)}
повний еліптичний інтеграл другого роду .A093728 ОЕIS .
Довжина довільної дуги трипелюсткової троянди, що відповідає параметру t: [ 3]
ℓ
(
t
)
=
1
3
a
⋅
E
(
3
t
,
2
2
⋅
i
)
{\displaystyle \ell (t)={\frac {1}{3}}a\cdot \mathrm {E} \left(3t,2{\sqrt {2}}\cdot i\right)}
де
E
(
x
,
k
)
{\displaystyle \mathrm {E} (x,k)}
неповний еліптичний інтеграл другого роду .
Площа области, що обмежена трипелюстковою трояндою:
S
=
1
2
a
2
⋅
∫
0
π
cos
2
(
3
φ
)
d
φ
=
6
⋅
1
2
⋅
a
2
⋅
∫
0
π
6
cos
2
(
3
φ
)
d
φ
=
π
a
2
4
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}a^{2}\cdot \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(3\varphi )d\varphi =6\cdot {\frac {1}{2}}\cdot a^{2}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{6}}\cos ^{2}(3\varphi )d\varphi ={\frac {\pi a^{2}}{4}}}
Ця площа дорівнює чверті площі описаного навколо троянди круга.
π·a 2 / 12
Кривина трипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру t :[ 3]
κ
(
t
)
=
14
−
4
cos
(
6
t
)
a
⋅
[
5
−
4
cos
(
6
t
)
]
3
2
{\displaystyle \kappa (t)={\frac {14-4\cos(6t)}{a\cdot [5-4\cos(6t)]^{\tfrac {3}{2}}}}}
Зокрема, радіус кривини у вершинах пелюсток троянди (параметр
t
=
0
{\displaystyle t=0}
ρ
(
t
)
=
1
κ
(
t
)
=
a
10
{\displaystyle \rho (t)={\frac {1}{\kappa (t)}}={\frac {a}{10}}}
Вся крива розташовується всередині кола радіуса
a
{\displaystyle a}
Вершини пелюсток є вершинами правильного трикутника .
Трипелюсткова троянда є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку роду 0.[ 4]
Крива має 3 осі симетрії, що проходять через вершину кожної пелюстки. Зокрема рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:
y
=
0
,
та
y
=
±
3
⋅
x
{\displaystyle y=0\,,\quad {\text{та}}\quad y=\pm {\sqrt {3}}\cdot x}
Центру симетрії не має.
Прямі
x
=
0
,
та
y
=
±
3
3
⋅
x
{\displaystyle x=0\,,\quad {\text{та}}\quad y=\pm {\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot x}
дотичними у вузловій точці троянди.
ρ
=
a
⋅
cos
3
φ
{\displaystyle \quad \rho =a\cdot \cos 3\varphi }
гіпотрохоїдою , у якої радіус нерухомого кола дорівнює
R
=
3
a
4
{\displaystyle R={\frac {3a}{4}}}
r
=
a
4
{\displaystyle r={\frac {a}{4}}}
h
=
a
2
{\displaystyle h={\frac {a}{2}}}
[ 5] :стор.235 [ 6] Трипелюсткова троянда є епітрохоїдою при
R
=
3
r
{\displaystyle R=3r}
h
=
R
+
r
=
4
3
⋅
R
{\displaystyle h=R+r={\frac {4}{3}}\cdot R}
:стор.166
Трипелюсткова троянда є подерою дельтоїди (кривої Штейнера) відносно її центра. :стор.166 Для дельтоїди
{
x
(
t
)
=
2
r
cos
t
3
+
r
cos
2
t
3
y
(
t
)
=
2
r
sin
t
3
−
r
sin
2
t
3
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)=2r\cos {\frac {t}{3}}+r\cos {\frac {2t}{3}}\\y(t)=2r\sin {\frac {t}{3}}-r\sin {\frac {2t}{3}}\end{cases}}}
де
t
{\displaystyle t}
r
{\displaystyle r}
подери відносно її центру (початку координат) буде:
ρ
=
r
⋅
cos
3
φ
{\displaystyle \rho =r\cdot \cos 3\varphi }
або
(
x
2
+
y
2
)
2
=
r
⋅
(
x
3
−
3
x
y
2
)
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=r\cdot (x^{3}-3xy^{2})}
Ця троянда є вписаною в коло , яке вписане в дельтоїду . Вершини троянди збігаються з вершинами дельтоїди.[ 2] :стор.128-129; 166
Нехай два рівних відрізка
O
A
{\displaystyle OA}
A
M
{\displaystyle AM}
a
{\displaystyle a}
O
{\displaystyle O}
A
{\displaystyle A}
ω
O
A
ω
A
M
=
3
{\displaystyle {\frac {\omega _{OA}}{\omega _{AM}}}=3}
M
{\displaystyle M}
Нехай два радіуси
O
A
{\displaystyle OA}
O
B
{\displaystyle OB}
кола обертаються навколо точки
O
{\displaystyle O}
ω
O
A
ω
O
B
=
3
{\displaystyle {\frac {\omega _{OA}}{\omega _{OB}}}=3}
геометричним місцем підстав перпендикулярів , проведених з точки
A
{\displaystyle A}
O
B
{\displaystyle OB}
:стор.165
Утворення трипелюсткової троянди при обертанні зубчастих коліс.
Трипелюсткова троянда є окремим випадком сімейства кривих, що є подерами дельтоїди відносно точок, що знаходяться всередині дельтоїди — трипелюсткові криві, що мають рівняння в декартовій системі координат:[ 8]
(
x
2
+
y
2
)
2
=
(
x
2
+
y
2
)
(
a
x
+
b
y
)
+
r
⋅
(
x
3
−
3
x
y
2
)
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2})(ax+by)+r\cdot (x^{3}-3xy^{2})}
Тут:
A
(
a
,
b
)
{\displaystyle A(a,b)}
O
(
0
,
0
)
{\displaystyle O(0,0)}
Тобто дельтоїда має рівняння
{
x
(
t
)
=
a
−
r
⋅
(
cos
2
t
+
2
cos
t
)
y
(
t
)
=
b
+
r
⋅
(
sin
2
t
−
2
sin
t
)
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a-r\cdot (\cos 2t+2\cos t)\\y(t)=b+r\cdot (\sin 2t-2\sin t)\end{cases}}}
Якщо
A
{\displaystyle A}
O
{\displaystyle O}
![{\displaystyle \kappa (t)={\frac {14-4\cos(6t)}{a\cdot [5-4\cos(6t)]^{\tfrac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4040a4b42a40efdf2e7c13b212a5f6980d42972a)
