Рэлятывісцкая механіка

Рэлятыві́сцкая меха́ніка — раздзел фізікі, які разглядае законы механікі (законы руху цел і часціц) пры скарасцях, параўнальных са скорасцю святла. Пры скарасцях, значна меншых за скорасць святла, пераходзіць у класічную (ньютанаўскую) механіку.

У класічнай механіцы прасторавыя каардынаты і час з’яўляюцца незалежнымі (пры адсутнасці сувязей, якія залежаць ад часу), час з’яўляецца абсалютным, гэта значыць, што ён цячэ аднолькава ва ўсіх сістэмах адліку, і дзейнічаюць пераўтварэнні Галілея. У рэлятывісцкай жа механіцы падзеі адбываюцца ў чатырохмернай прасторы (т.зв. «прасторы Мінкоўскага»), якая аб’ядноўвае фізічную трохмерную прастору і час. У прасторы Мінкоўскага пераход ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да другой адпавядае пераўтварэнням Лорэнца. Такім чынам, у адрозненне ад класічнай механікі, адначасовасць падзей залежыць ад выбару сістэмы адліку.

Асноўныя законы рэлятывісцкай механікі — рэлятывісцкае абагульненне другога закона Ньютана і рэлятывісцкі закон захавання энергіі-імпульсу — з’яўляюцца вынікам такога «змяшэння» прасторавых і часавых каардынат пры пераўтварэннях Лорэнца.

Сіла вызначаецца як

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}},}$

дзе ${\displaystyle {\vec {p}}}$ — рэлятывісцкі імпульс, вызначаны па формуле:

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

Каб вызначыць сілу, возьмем вытворную па часу ад апошняга выразу і атрымаем:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}),}$

дзе

${\displaystyle {\vec {\beta }}:={\frac {\vec {v}}{c}};}$

${\displaystyle \gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

У выніку выраз для сілы набывае выгляд:

${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}).}$

Адсюль відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, у адрозненне ад нерэлятывісцкага выпадку, паскарэнне не абавязкова накіраванае па сіле, у агульным выпадку паскарэнне мае таксама і складнік, накіраваны па скорасці.

Запішам інтэграл дзеяння, зыходзячы з прынцыпу найменшага дзеяння:

${\displaystyle S=-\int \limits _{a}^{b}\alpha ds,}$

дзе ${\displaystyle \alpha }$ — дадатны лік. Як вядома са спецыяльнай тэорыі адноснасці

${\displaystyle ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt,}$

падстаўляючы ў інтэграл руху, знаходзім:

${\displaystyle S=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.}$

Але, з іншага боку, інтэграл руху, можна выразіць праз функцыю Лагранжа: ${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt.}$ Параўноўваючы апошнія два выразы, няцяжка зразумець, што падынтэгральныя выразы павінны быць роўныя, гэта значыць:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Далей, раскладзём апошні выраз па ступенях ${\displaystyle {\frac {v}{c}},}$ атрымаем:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\simeq \alpha c+{\frac {\alpha v^{2}}{2c}},}$

першы член раскладання не залежыць ад скорасці, а значыць не ўносіць ніякіх змен ва ўраўненні руху. Тады, параўноўваючы з класічным выразам функцыі Лагранжа: ${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}$, няцяжка вызначыць пастаянную ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha =mc.}$

Такім чынам, канчаткова атрымліваем выгляд функцыі Лагранжа свабоднай часціцы:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Меркаванні, прыведзеныя вышэй, можна разглядаць не толькі для часціцы, але і для адвольнага цела, галоўнае, каб яго часткі рухаліся як адно цэлае.

• Тэорыя адноснасці
• Спецыяльная тэорыя адноснасці
• Агульная тэорыя адноснасці

• Рэлятывісцкая механіка // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 14: Рэле — Слаявіна / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 14. С. 9.
• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

• Релятивистская механика // Физическая энциклопедия.