ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ

ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਸਿਧਾਂਤ (Uncertainty principle) ਵਰਨਰ ਆਈਜਨਬਰਗ ਨੇ ਕਵਾਂਟਮ ਯੰਤਰਿਕੀ ਦੇ ਵਿਆਪਕ ਨਿਯਮਾਂ ਰਾਹੀਂ 1927 ਈ. ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਸੀ। ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਿਸੇ ਗਤੀਮਾਨ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ( $\sigma _{x}$ ) ਅਤੇ ਸੰਵੇਗ ( $\sigma _{p}$ ) ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਇੱਕਦਮ ਠੀਕ - ਠੀਕ ਨਹੀਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਰਾਸ਼ੀ ਜਿਆਦਾ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਮਿਣੀ ਜਾਵੇਗੀ ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਦੇ ਪਲੜੇ ਵਿੱਚ ਓਨੀ ਹੀ ਅਸ਼ੁੱਧਤਾ ਵੱਧ ਜਾਵੇਗੀ, ਚਾਹੇ ਇਸਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਵੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਕਿਉਂ ਨਾ ਵਰਤੀ ਜਾਵੇ। ਇਸ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦੀਆਂ ਅਸ਼ੁੱਧੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਲਾਂਕ ਸਥਿਰ-ਅੰਕ (ħ) ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।^[1]

\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}

ਜਿਥੇ ħ ਪਲਾਂਕ ਸਥਿਰ-ਅੰਕ ਹੈ1

ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਪਹਿਚਾਣ ਦੇ ਚਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਪਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰਹੇ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ ਕਿਸੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਦੀ ਆਈਗਨ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਓਸ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਬਾਰੇ ਕੋਈ ਅਨਸਰਟਨਟੀ (ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ) ਨਹੀਂ ਰਹਿ ਜਾਂਦੀ। ਪਰ ਅਵਸਥਾ ਭਾਵੇਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਵੇ, ਕੁੱਝ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਬਾਰੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਬਣੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਵਸਥਾ ਕਿਸੇ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ –ਜਿਵੇਂ A ਦਾ ਕੋਈ ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਹੋਰ ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ ਜੋ A ਨਾਲ ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣਗੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਕਨੂੰਨ ਦੀ ਤਰਾਂ, ਜੇਕਰ A ਅਤੇ B ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਬੰਧ ਨਾ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ, ਫੇਰ ਜੇਕਰ ਦੋਹਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਜਰੂਰ ਹੋਵੇਗੀ।

ਇਸ ਆਪਸੀ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਜਾਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਣ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਹੈ, ਜੋ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸੰਵੇਗ (ਮੋਮੈਂਟਮ) ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਇੱਕ ਕਿਤੇ ਜਿਆਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸਿਧਾਂਤ ਤੱਕ ਫੈਲਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਜਿਹੇ ਦੋ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕਮਿਊਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ (ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ)। ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ ਦੇ ਦੋ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਹੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੋਵੇਗੀ।

ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਦਾ ਅਰਥ

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਅਰਥ ਜਾਣ ਲੈਣ ਬਾਰੇ ਬਹੁਤ ਪੱਕੇ ਹੋਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ A ਦੀਆਂ ਆਈਗਨਵੈਲੀਊਜ਼ ਨੂੰ a ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਅਵਸਥਾ |ψ〉 ਲਈ, ਆਮ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਪਰੌਬੇਬੀਲਿਟੀ ਵੰਡ P(a) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। A ਦਾ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ (ਐਕਸਪੈਕਟੇਸ਼ਨ ਵੈਲੀਊ) ਸਧਾਰਨ ਔਸਤ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

〈 Ψ|A|Ψ〉 = ∑a aP(a)

ਮੋਟੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ P(a) ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਦੇ ਅੱਧ ਵਿਚਾਲੇ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਹੋਇਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ‘A ਵਿੱਚ ਅਨਸਰਟਨਟੀ’ ਤੋਂ ਸਾਡਾ ਜੋ ਭਾਵ ਹੈ ਉਸਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਝੁਕਾਅ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣਿਅ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਝੁਕਾਅ ਨੂੰ ਗਿਣਨ ਲਈ, A ਵਿੱਚੋਂ ਇਸਦਾ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਘਟਾਉਣ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਾਂਗੇ:

A ̅ = A –〈 A〉

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਤੋਂ ਇੱਕ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਸਪਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਕਿ ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਕੀ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਕ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਨਜ਼ਰ ਪਾਈਏ। ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਯੂਨਿਟ ਓਪਰੇਟਰ I ਜਾਂ ਪਛਾਣ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਾਲਾ ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਰਥ ਸਪਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸੰਪੂਰਣ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

A ̅ = A –〈 A〉I

A ̅ ਲਈ ਪਰੌਬੇਬੀਲਿਟੀ ਵੰਡ A ਲਈ ਵੰਡ ਵਰਗੀ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਏਸ ਗੱਲ ਦੇ ਕਿ ਇਹ ਕੁੱਝ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਰਹੇ। ਦੇ ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ ਵੀ A ਦੇ ਆਈਗਨਵੈਕਟਰਾਂ ਵਰਗੇ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਸਿਰਫ ਜਰਾ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਤਾਂ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਰਹੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

a ̅ = a –〈 A〉I

ਜੇਕਰ A ਦਾ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ΔA ਨਾਮ ਦੀ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਸਰਲ ਤੋਂ ਸਰਲ ਕਿਸਮ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

(ΔA)2 = 〈 Ψ|A^2|Ψ 〉

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਦਾ ਸਕੁਏਅਰ ਓਪਰੇਟਰ A² ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਾਉਚੀ-ਸ਼ਵਾਰਜ਼ ਆਸਮਾਨਤਾ

ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਇੱਕ ਨਾ-ਬਰਾਬਰਤਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਮੁਤਾਬਿਕ A ਅਤੇ B ਦੀਆਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾਵਾਂ ਓਸ ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਕਮਿਊਟੇਟਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮੁਢਲੀ ਗਣਿਤਿਕ ਨਾ-ਬਰਾਬਰਤਾ ਜਾਣੀ ਪਛਾਣੀ ਤਿਕੋਣ ਆਸਮਾਨਤਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਈਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਤਰਾ ਬਾਕੀ ਦੋ ਸਾਈਡਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ;

|X||Y | ≥ |X • Y | ----(5.5)

ਤਿਕੋਣੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਤੋਂ |X| + |Y | ≥ |X + Y |

ਤਿਕੋਣ ਆਸਮਾਨਤਾ ਅਤੇ ਕਾਉਚੀ-ਸ਼ਵਾਰਜ਼ ਅਸਮਾਨਤਾ

ਤਿਕੋਣੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਬੇਸ਼ੱਕ ਸਧਾਰਨ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਹੋ ਕੇ ਬਣਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਿਤੇ ਜਿਆਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤਸਵੀਰ 5.1 ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰ ਕੇ ਤੁਸੀਂ ਮੁਢਲਾ ਆਈਡੀਆ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਸਾਧਾਰਣ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਾਈਡਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਿਕੋਣੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸਿਰਫ ਇਹ ਕਥਨ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਸਾਈਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਤੀਜੀ ਸਾਈਡ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਿੱਛੇ ਛੁਪਿਆ ਆਈਡੀਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਛੋਟੇ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਰਸਤਾ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ 1 ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ 3 ਦਰਮਿਆਨ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਫਾਸਲਾ ਸਾਈਡ z ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਦੋ ਸਾਈਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਤਿਕੋਣੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵੀ ਦਰਸਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੁਢਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫੇਰ ਇਸ ਨੂੰ ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ ਦੀ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ ਢਾਲ ਲਵਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ;

|X| + |Y | ≥ |Z|

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ X ਅਤੇ Y ਨੂੰ ਜੋੜੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਲਿਖੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

|X | + |Y | ≥ |X +Y |

ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਕੁਏਅਰ ਕਰਨ ਤੇ, ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ;

|X |2 + |Y |2 + 2|X ||Y | ≥ |X +Y |2

|X +Y|2 = |X |2 + |Y |2 + 2(X • Y)

ਕਿਉਂ? ਕਿਉਂਕਿ |X +Y |2 ਸਿਰਫ (X +Y) • (X +Y) ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ;

|X|2 + |Y |2 + 2|X ||Y | ≥ |X |2 + |Y |2 + 2(X • Y)

ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਦੋਹੇ ਸਾਈਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ |X |2 +|Y |2 ਘਟਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਤੇ ਫੇਰ 2 ਨਾਲ ਵੰਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹ ਬਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

|X ||Y | ≥ X • Y ---- (5.6)

ਇਹ ਤਿਕੋਣ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵੈਕਟਰਾਂ X ਅਤੇ Y ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਉਹਨਾ ਦੇ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਈ ਹੈਰਾਨੀ ਵਾਲੀ ਗੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ- ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਕਸਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

X•Y = |X ||Y | cos θ

ਜਿੱਥੇ θਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਐਂਗਲ ਹੈ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਐਂਗਲ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ (cosine) ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ -1 ਤੋਂ +1 ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਜਰੂਰ ਹੀ |X||Y | ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਬਾਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਬੰਧ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ, ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਮਨਚਾਹੇ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਅੰਦਰੂਨੀ-ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੋਵੇ। ਜਿਵੇਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਅਸਮਾਨਤਾ 5.6 ਨੂੰ ਵਰਗ ਕੀਤੀ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ ਵਰਤਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਜਾਵਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਇਹ ਹੈ ;

|X |2|Y |2 ≥ (X • Y)2

ਜਾਂ

|X |2|Y |2 ≥ |X • Y |2 ----(5.7)

ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਨੂੰ ਕਾਉਚੀ-ਸ਼ਵਾਰਜ਼ ਅਸਮਾਨਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਲਈ, ਤਿਕੋਣ ਅਸਮਾਨਤਾ ਜਰਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਰੂਪ ਅਖਤਿਅਰ ਕਰ ਲੈਂਦੀ ਹੈ।